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Unidad 5. Algebra / Actividad 9. Mapa conceptual. (Aplicaciones de…
Unidad 5. Algebra / Actividad 9. Mapa conceptual.
Espacios con producto interno
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:
Propiedades
(u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
(u + v, w) = (u, w)+(v, w)
(u, v) = (v, u)
(αu, v) = α(u, v)
(v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
(u, αv) = α(u, v)
(v, v) ≥ 0
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
Propiedades:
‹0, v› = ‹v, 0› = 0
‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
‹u, cv› = c‹u, v›
Aplicaciones de espacios vectoriales
Creación de video juegos.
Películas animadas.
Transporte aereo.
Transporte de los barcos.
Ingeniería civil, sistemas e industrial.
Cálculos numéricos.
Resolución de ecuaciones lineales.
Problemas de estadística.
Conocer fuerzas que actúan sobre un puente o edificio.
Construcción de espacios vectoriales
Consiste en:
Una operación denotada con + que a cada par de vectores v,w en V asocia un vector
v+w
también en V
Llamado producto de v y w
Una operación llamada multplicación escalar, que cada número real r y vector
v
en V le asocia un vector r
v
en V.
Llamado producto de r y v.
Un conjunto de V de objetivos.
Estos objetos reciben el nombre de vectores, en casos especificos pueden tratarse de matrices o funciones.
Las operaciones deben definirse de tal manera que:
La suma sea asociativa:
v + (w + u ) = (v + w) + u
Exista un vector cero 0 en V tal que u+0=para todo u en V.
El vector 0 se llama idéntico aditivo.
La suma sea conmutativa:
v + w = w + v
Para cada vector v en V hay un inverso aditivo v en V tal que v + (-v) = 0.
(rs)v=r(sv)
Iv=v para todo v en V
(r+s)v=rv+sv
r(v+w)=rv+rw
Bases
Sistema Generador
Sea {v1,v2,…vr} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.
Espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.
Tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.
Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única
Propiedades
Una base de S es un sistema generador minimal de S
Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella.
Tipos de bases.
Base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno; los elementos son mutuamente ortogonales y normales.
Base ortogonal satisface las mismas condiciones salvo la de magnitud unitaria.
Trasformaciones lineales
Funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura de estos espacios.
Sean (V, +V, ·V) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales
Una función f : V → W se llama una transformación lineal de V en W si cumple:
1.- F(u+v) = F(u) + F(v) ∀u,v∈V
2.- F(k.v) = k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo del codominio 0w:
T (0v)=0w
La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:
T(–v)=–T(v)
Consideremos r vectores del espacio vectorial V:
v1,v2,…,vr∈V
Orto-normales y método de Gram Schmidt
Sea (E(,)) un espacio euclídeo y B=(v1, ..., vn) una base de E. Entonces, existe una base B ortogonal cuyo primer elemento es v1 y tal que MB´B es triangular.
Demostración:
Se toma u2=u2+a2,1u1, eligiendo a2,1 de forma que 0=(u1,u2)
Se toma u1 =u1.
En general se define ui+ai,1u1+ai2u2+...ai,i-1ui-1, tomando ai,j de forma que (ui,uj) = 0 para j = 1, ...i-1- Se tiene que, ai,j = (ui,uj)/(uj,uj), para j = 1, ... , i - 1.
Se puede construir una base ortonormal dividiendo cada vector por su norma.
Podemos elegir cuál va a ser el primer vector de la nueva base ortogonal: es el que tomemos como primer vector en la base de partida.
Bases ortonormales
V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares <VI Vj> =0 (producto punto)
Si además cada elemento de la base tiene de norma =1, la base se llama ortonormal.
Los vectores unitarios canónicos E1… En en Rn forman una base ortonormal de Rn y ademàs cada uno de llos tiene norma=1, por lo tanto:
Ei.Ej=0(1,0)(0,1)
Producto escalar= producto interno de las coordenadas de los vectores.
Link: Método de Gram Schmidt para obtener bases ortonormales (Universidad)
Materia: Algebra
Alumna: Guadalupe de la Cruz Xalocan
Ing. en Tecnologías y Sistemas de Información
Docente: Ing. Eduardo García Ramírez
Bibliografia:
Perry, W. L. (2009). Álgebra lineal con aplicaciones. México, D.F., MX: McGraw-Hill Interamericana. Recuperado de:
http://site.ebrary.com/lib/vallemexicosp/reader.action?docID=10491312
Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Recuperado de:
http://site.ebrary.com/lib/vallemexicosp/reader.action?docID=11013215
Shurprofe. (2017, Enero 5). Método de Gram Schmidt para obtener bases ortonormales (Universidad). [Video file]. Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=V95aRhnEbew
