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Introduzione alla Teoria della Relatività (Relatività generale (Principi…
Introduzione alla Teoria della Relatività
Relatività Speciale
Principio della relatività speciale
invarianza delle leggi fisiche per SRI
invarianza della velocità della luce
unità naturali
Trasformazioni di Lorentz
Dilatazione dei tempi
Contrazione delle lunghezze
Invarianza della distanza
Spazio-tempo di Minkowski M4
curve time-like, space-like e light-like
Disuguaglianza di Schwarz
Disuguaglianza triangolare
Rappresentazione grafica dell'ortogonalità
Relazioni causa-effetto
Trasformazioni di Lorentz
Conservazione del prodotto scalare
Gruppo di Poincaré
Gruppo di Lorentz
Gruppo O(1,3)
Gruppo SO(1,3) (det ^ = 1)
Gruppo SO(1,3)^ ortocrone
Trasformazioni di Lorentz
Espressione esponenziale
Boost e rotazioni
Cinematica
Tempo proprio
Quadri-velocità (γ,γ
v
)
Quadri-accelerazione
(A°,
A
) ma
A
≠
a
A · u = 0
es. moto circolare uniforme
es. moto rettilineo uniforme
orizzonte degli eventi
Impulso (mγ,mγ
v
)
limite classico: m deve essere la massa
p si trasforma con Lorentz
si deve conservare p non
p
conservazione p° = conservazione energia
si deve conservare E inclusa massa di riposo (legata a p°)
difetto di massa
fotoni e tachioni
effetto Doppler relativistico
Forza di Minkowski
Forme differenziali e integrali
Forma differenziale come tensore p-covariante
Interpretazione geometrica (mapping tra spazi tangenti)
differenziale scalare, vettori duali
prodotto esterno tra forme
operatore d (caso differenziale, estensione)
espressione di dw con permutazioni
prodotto esterno come area/volume
Teorema di Gauss
Il tensore degli sforzi di Cauchy
Equazione di Eulero
Fluidi relativistici ideali [Carrol §1.9]
∂T = 0
∂T = f
Equazione di Eulero relativistica [Carrol 1.123]
Momento angolare [Misner §5.11]
Momento angolare intrinseco
Precessione di Thomas
Elettromagnetismo
Equazioni di Maxwell classiche
Dipendenza dal SRI (se c finito)
Tensore antisimmetrico di campo e.m.
Equazioni di Maxwell relativistiche dF=0, ∂F = J
Bilancio energetico e tensore energia-stress-impulso
Gauge
Scalari di Lorentz [note]
Relatività generale
Principi di equivalenza:
debole (WEP): mi = mg
forte (SEP) - medio: tutte le leggi tranne g
forte (SEP) - molto : tutte le leggi inclusa g
Prova di SEP diretta
Prova di WEP indiretta (atomo di idrogeno)
Necessità di uno spazio curvo:
deviazione della luce
spostamento verso il rosso
Esperimento di Pound-Rebka
Principio di località
Distanza temporale --> g00 > 1
Distanza spaziale e tensore metrico spaziale --> γij, autovalori positivi
-g = g00*det(γ)
Introduzione dell'invarianza di c
Simultaneità
Sistema di coordinate sincrono
Osservatore accelerato
Scelta del SdR (τ,0,0,0)
Esempi:
moto circolare uniforme (geometria spaziale non-euclidea, geometria di Minkowski)
In generale:
g = η localmente (imposto per principio di località)
si può ottenere g = η globalmente --> moto accelerato
Einstein vs. Newton (caduta libera: A=0)
Geodetiche come curve ad accelerazione nulla
Principio di equivalenza --> assenza di torsione
d2 xm/(dt)2 = 0 --> connessione nulla
geodetiche luce (ds2 = 0)
Coordinate di Riemann (geodetiche)
Tensore di Riemann e forze di marea
equivalenza solo locale tra campo accelerato e campo gravitazionale
Rabcd = 0 <=> Minkowski
Geometria differenziale
Varietà
Carte e Atlanti
Coordinate e cambi di coordinate
Varietà n-differenziabili e lisce
Tensori
grado e tipo di tensori
covarianza e controvarianza
Spazi tangenti TpM
Campi vettoriali e tensoriali
Base
∂i
, e base duale (gradiente)
dxi
Componenti
Derivata parziale, derivata covariante
Connessione
Derivata covariante di un tensore
Tensore metrico
Prodotto scalare
Varietà Riemanniana e pseudo-Riemanniana
Torsione
Compatibilità metrica
Connessione di Levi-Civita
Prodotto esterno
Simboli di Levi-Civita
Volume
E = √ |g| • e
Geodetiche
Curvatura
Tensore di Riemann Rdabc
commutazione delle derivate covarianti
20 componenti indipendenti
Tensore di Ricci Rab
unico tensore per contrazione
significato con volume
tensore di Weyl
Tensore scalare R
Identità di Bianchi
∇m(Rab - 1/2 R gab) = 0