MATRICES
🏴CONCEPTOS PREVIOS
DETERMINANTES
Sistemas de Ecuaciones
🖊Conceptos Básicos
Llamamos determinante al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz. ✏
De una manera mnemotécnica podemos recordar que son positivos el producto de los tres elementos de la diagonal principal, y los de los dos "triángulos" en el mismo sentido:
✅MPORTANCIA: nos permite saber si un matriz es regular (si tiene inversa) y, por tanto, si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución
Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.
Las filas de una matriz o sus columnas son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es 0.
Ecuación
Sistema de Ecuaciones ✅
Es el conjunto de Ecuaciones
Tipos de soluciones.
Se trata de una expresión analítica que plantea la determinación de los valores de los
argumentos que hacen iguales dos funciones.
SOLUCIÓN MÚLTIPLE
SOLUCIÓN NO ACOTADA
SOLUCIÓN ÚNICA:
INEXISTENTE
Solo existe una combinación de valores para las incógnitas que satisface la igualdad.
Existe más de una combinación de valores para las incógnitas que satisface la igualdad.
Solución múltiple con número infinito de valores.
Solución múltiple con número finito de valores.
Una de la incógnitas debe tender a más infinito o menos infinito para que se logre cumplir la igualdad, por lo que podemos aseverar que es una solución imposible de encontrar.
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🏴 MATRICES ESPECIALES
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No existen combinaciones de valores en el conjunto de números (realesenteros, racionales, etc.) en el que se plantee la búsqueda para las incógnitas que, proporcionen la igualdad planteada en la ecuación.
TIPOS DE ECUACIONES
Lineales
No lineales
La relación existente entre las variables es lineal, es decir, las variables
aparecen sumando o restando entre si multiplicadas por números reales
La función refleja relaciones no lineales entre las variables, serían todas
las ecuaciones que no fueran lineales.
mientras que son negativos los productos de la otra diagonal, y sus respectivos "triángulos":
MATRIZ:
ORDEN DE UNA MATRIZ:
Se llama orden de una matriz al número de filas por el número de columnas de dicha matriz.
Una matriz real es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas.
regla de Sarrus
La regla de Sarrus nos sirve para resolver de manera muy sencilla el determinante de una matriz de 3×3.
MATRIZ NULA:
MATRIZ OPUESTA
MATRIZ CUADRADA:
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
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MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
MATRIZ DIAGONAL
MATRIZ IDENTIDAD
MATRICES IDÉNTICAS
MATRICES TRASPUESTAS
MATRIZ COLUMNA:
MATRIZ SIMÉTRICA
MATRIZ FILA:
MATRIZ ANTISIMÉTRICA
La expresión matricial del sistema lineal de ecuaciones es:
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Para cualquier A, se verifica : |A| = |tA|
Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces |A| = 0 .
Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k.
Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo.
Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo.
Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.
Si a los elementos de la fila (o columna) i-ésima de un determinante la descomponemos en una suma de h sumandos, el determinante es igual a la suma de los h determinantes que se obtienen como se ve en el ejemplo siguiente:
TIPOS DE SOLUCIONES DE ECUACIONES LINEALES
Sistema incompatible
Sistema compatible
Con al menos una solución.
i a una fila (o columna) de una matriz dada se le suma una combinación lineal del resto de sus filas (o columnas), su determinante no varía.
Sistema sin solución.
Para el producto de matrices se tiene:
|A . B| = |A| . |B|
Sistema compatible determinado
Sistema compatible Indeterminado
Con una solución única.
Con infinitas soluciones
MATRIZ ADJUNTA
La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es otra matriz que resulta de sustituir cada elemento
Matriz formada por una sola fila. También se conoce como vector fila.
Matriz formada por una sola columna. También se conoce como vector columna.
Es aquella cuyos elementos son todos nulos.
La matriz opuesta de una matriz A = [aij] es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son
los de la matriz A multiplicados por -1.
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, m = n.
En una matriz cuadrada se llama diagonal principal a la línea oblicua formada por los elementos aij cuyos subíndices son iguales.
Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son todos ceros, aij = 0, ∀i > j.
Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal son todos ceros, aij = 0, ∀i < j.
Es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos nulos, aij = 0, ∀i ≠ j. Se trata de una matriz que es simultáneamente matriz triangular superior e inferior.
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad, aij = 0, ∀i ≠ j; aij = 1, ∀i = j. Se representa por la letra I, mayúscula.
Dada una matriz A= [aij] de orden mxn, se dice que es igual a la matriz B=[bij] del mismo orden si se verifica que aij= bij ∀i=1, 2, ..., m; ∀j=1, 2, ..., n.
Dada una matriz A= [aij] de orden mxn, A∈Mmxn, su traspuesta es otra matriz que se representa por At ∈Mnxm, y se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por columnas.
Se denomina matriz simétrica a aquella matriz cuadrada que es igual o idéntica a su matriz traspuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas.
Se denomina matriz antisimétrica a aquella matriz cuadrada cuya traspuesta coincide con su matriz opuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas.
teniendo como ejemplo :
Matriz Ampliada
A partir de un sistema de ecuaciones lineal se puede construir la matriz ampliada partiendo de la matriz A de coeficientes de las ecuaciones, añadiendo como última columna, la columna de términos independientes. Se denota por A*
MATRIZ INVERSA
La matriz inversa de una matriz cuadrada es otra matriz cuyo producto por la primera es igual a
la matriz unidad o identidad:
Se comprueba primero si el determinante de la matriz es distinto de cero, pues en caso
contrario, la matriz no admite inversa.
Para obtener la matriz inversa A-1 se divide la matriz adjunta de la traspuesta de A por su
determinante que ya ha sido calculado:
MATRIZ ORTOGONAL:
Se dice que una matriz A es ortogonal si multiplicada por su traspuesta da como resultado la
matriz identidad, o dicho de otra manera, si su matriz traspuesta es igual a su matriz inversa.
A A I A A A ortogonal ⋅ t = ⇔ t = −1 ⇔
Ejemplo
La matriz identidad es una matriz ortogonal.
Matriz regular.
Es aquella matriz que admite matriz inversa pues su determinante es distinto de cero.
Matriz singular.
Es aquella matriz que NO admite matriz inversa pues su determinante es NULO.
RANGO DE UNA MATRIZ
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NOTAS:
+No puede haber matrices no cuadradas que sean simétricas, por lo que es condición necesaria
que sea cuadrada.
+Las matrices diagonales son simétricas.
Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
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Podemos descartar una línea si:
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
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En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.
F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3.
🏴 OPERACIONES CON MATRICES
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN ELEMENTALES
Reducción
Igualación
Sustitución
Consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.
Consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, Y. Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de Y que ya conocemos.
EJEMPLO
EJEMPLO
Ejemplo
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE CRAMER
Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:
Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.
Para calcular la incógnita x1 del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita X1 según la fórmula.
EJEMPLO
DETERMINANTE DEL SISTEMA ES IGUAL A 4
Reemplazamos los valores independientes por X y sacamos el determinante de esa matriz
Determinante de X es 8
Reemplazamos los valores independientes por Y y sacamos el determinante de esa matriz
Determinante de Y es -8
Y=-2
Reemplazamos los valores independientes por Z y sacamos el determinante de esa matriz
X=2
Determinante de Z es 4
Z=1
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS JORDAN
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El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación.
EJEMPLO
Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz
Empezamos a operar para conseguir la matriz identidad
MÉTODO MATRIZ INVERSA
Los supuestos para su aplicación son los mismos que los de la Regla o Método de Cramer, asícomo los de Gauss. Dado un sistema cuadrado con n ecuaciones e incógnitas, compatible ydeterminado, es decir, rg(A) = rg(A*) = n, lo que implica que A sea regular, se puede obtener lasolución del mismo, (combinación de valores única para todas las incógnitas) mediante la multiplicación
del sistema en su forma matricial por la matriz inversa de la matriz de coeficientes
EJEMPLO
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:
X =2,Y= -1, Z= 3
PRODUCTO MATRIZ POR UN NÚMERO
PRODUCTO DE MATRICES
RESTA
OPERACIONES CON MATRICES TRASPUESTAS
SUMA
MATRIZ IDEMPOTENTE
La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que resta, B.
Una vez definido el producto de matrices, se puede definir el concepto de matriz idempotente como aquella matriz cuadrada cuyo producto por sí misma es igual a sí misma:
A partir de conocer las operaciones básicas con matrices y el concepto de matriz traspuesta, está demostrado lo siguiente:
Para poder multiplicar dos matrices A y B, ( B A ⋅ ), el número de columnas de la matriz que multiplica en primer lugar, A, debe ser igual al número de filas de la matriz que multiplica en segundo lugar, B.
Dada una matriz A = [ aij]mxn y número real α∈R, se define el producto de un número por esa matriz como otra matriz B del mismo orden cuyos elementos se obtienen de multiplicar cada uno de los elementos de A por el número α.
Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, se define su suma como otra matriz, C, del mismo orden que las matrices sumando cuyos elementos se obtienen sumando a cada elemento de la primera matriz, A, el correspondiente elemento de la segunda matriz sumando, B.
ejemplo
EJEMPLO
Los elementos de la matriz C se obtienen de multiplicar las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz. Ese producto consiste en multiplicar un elemento de la fila por el correspondiente de la columna y sumar el resultado al resto de productos de elementos de esa fila por esa columna.
EJEMPLO
EJEMPLO
NOTA Para el caso de que las dos matrices sean de distinto orden y los dos productos existan, porque se cumple el requisito o condición necesaria para poderse multiplicar, el resultado de B A ⋅ será una matriz de distinto orden que el resultado de B ⋅ A , por lo que tampoco se cumple la propiedad conmutativa, como se ha visto en el ejemplo anterior.
Si las dos matrices son del mismo orden, para que los dos productos existan, deben ser matrices cuadradas, para que se cumpla el requisito para poderse multiplicar, pero tampoco se cumple, en general, la propiedad conmutativa. En el siguiente ejemplo se da el caso de la existencia de los dos productos dando como resultado una matriz cuadrada del mismo orden en ambos casos, pero que no coincide:
A ⋅ B ≠ B ⋅ A
Está claro para el caso de dos matrices de distinto orden y en donde uno de los dos productos no exista (porque no se cumple el requisito para poderse multiplicar). El resultado que exista no coincidirá con el otro que no existe, por lo que no se cumple la propiedad conmutativa.
La matriz traspuesta de la matriz que resulta de multiplicar un número por una matriz es igual al producto del mismo número por la traspuesta de dicha matriz:
La matriz traspuesta de la matriz que resulta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices que se multiplican cambiando el orden del producto:
La matriz traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas de las matrices sumando:
(A+B)t = At + Bt
(A.B)t = At . Bt
NOTA
Si no se cambia de orden el producto de las traspuestas puede o no ser posible, o ser una matriz de distinto orden que la matriz que resulte de cambiar el orden del producto de traspuestas, o puede incluso ser del mismo orden, pero resultar una matriz distinta.