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MATRICES (DETERMINANTES (PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (Si a los…

- - - - Una matriz real es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas.
    - - Se llama orden de una matriz al número de filas por el número de columnas de dicha matriz.
  - - - Es aquella cuyos elementos son todos nulos.
    - - La matriz opuesta de una matriz A = [aij] es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son
        los de la matriz A multiplicados por -1.
    - - Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, m = n.
        En una matriz cuadrada se llama diagonal principal a la línea oblicua formada por los elementos aij cuyos subíndices son iguales.
    - - Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son todos ceros, aij = 0, ∀i > j.
    - - Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal son todos ceros, aij = 0, ∀i < j.
    - - Es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos nulos, aij = 0, ∀i ≠ j. Se trata de una matriz que es simultáneamente matriz triangular superior e inferior.
    - - Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad, aij = 0, ∀i ≠ j; aij = 1, ∀i = j. Se representa por la letra I, mayúscula.
    - - Dada una matriz A= [aij] de orden mxn, se dice que es igual a la matriz B=[bij] del mismo orden si se verifica que aij= bij ∀i=1, 2, ..., m; ∀j=1, 2, ..., n.
    - - Dada una matriz A= [aij] de orden mxn, A∈Mmxn, su traspuesta es otra matriz que se representa por At ∈Mnxm, y se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por columnas.
    - - Matriz formada por una sola columna. También se conoce como vector columna.
    - - Se denomina matriz simétrica a aquella matriz cuadrada que es igual o idéntica a su matriz traspuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas.
      - NOTAS:
        +No puede haber matrices no cuadradas que sean simétricas, por lo que es condición necesaria
        que sea cuadrada.
        +Las matrices diagonales son simétricas.
    - - Matriz formada por una sola fila. También se conoce como vector fila.
    - - Se denomina matriz antisimétrica a aquella matriz cuadrada cuya traspuesta coincide con su matriz opuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas.
    - - PRODUCTO MATRIZ POR UN NÚMERO
        
        Dada una matriz A = [ aij]mxn y número real α∈R, se define el producto de un número por esa matriz como otra matriz B del mismo orden cuyos elementos se obtienen de multiplicar cada uno de los elementos de A por el número α.
        
        EJEMPLO
      - PRODUCTO DE MATRICES
        
        Para poder multiplicar dos matrices A y B, ( B A ⋅ ), el número de columnas de la matriz que multiplica en primer lugar, A, debe ser igual al número de filas de la matriz que multiplica en segundo lugar, B.
        
        EJEMPLO
        
        Los elementos de la matriz C se obtienen de multiplicar las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz. Ese producto consiste en multiplicar un elemento de la fila por el correspondiente de la columna y sumar el resultado al resto de productos de elementos de esa fila por esa columna.
        
        NOTA Para el caso de que las dos matrices sean de distinto orden y los dos productos existan, porque se cumple el requisito o condición necesaria para poderse multiplicar, el resultado de B A ⋅ será una matriz de distinto orden que el resultado de B ⋅ A , por lo que tampoco se cumple la propiedad conmutativa, como se ha visto en el ejemplo anterior.
        
        Si las dos matrices son del mismo orden, para que los dos productos existan, deben ser matrices cuadradas, para que se cumpla el requisito para poderse multiplicar, pero tampoco se cumple, en general, la propiedad conmutativa. En el siguiente ejemplo se da el caso de la existencia de los dos productos dando como resultado una matriz cuadrada del mismo orden en ambos casos, pero que no coincide:
        
        A ⋅ B ≠ B ⋅ A
        Está claro para el caso de dos matrices de distinto orden y en donde uno de los dos productos no exista (porque no se cumple el requisito para poderse multiplicar). El resultado que exista no coincidirá con el otro que no existe, por lo que no se cumple la propiedad conmutativa.
      - RESTA
        
        La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que resta, B.
        
        EJEMPLO
      - OPERACIONES CON MATRICES TRASPUESTAS
        
        A partir de conocer las operaciones básicas con matrices y el concepto de matriz traspuesta, está demostrado lo siguiente:
        
        La matriz traspuesta de la matriz que resulta de multiplicar un número por una matriz es igual al producto del mismo número por la traspuesta de dicha matriz:
        
        La matriz traspuesta de la matriz que resulta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices que se multiplican cambiando el orden del producto:
        
        (A.B)t = At . Bt
        
        La matriz traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas de las matrices sumando:
        
        (A+B)t = At + Bt
        
        NOTA
        
        Si no se cambia de orden el producto de las traspuestas puede o no ser posible, o ser una matriz de distinto orden que la matriz que resulte de cambiar el orden del producto de traspuestas, o puede incluso ser del mismo orden, pero resultar una matriz distinta.
      - SUMA
        
        Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, se define su suma como otra matriz, C, del mismo orden que las matrices sumando cuyos elementos se obtienen sumando a cada elemento de la primera matriz, A, el correspondiente elemento de la segunda matriz sumando, B.
        
        ejemplo
      - MATRIZ IDEMPOTENTE
        
        Una vez definido el producto de matrices, se puede definir el concepto de matriz idempotente como aquella matriz cuadrada cuyo producto por sí misma es igual a sí misma:
- - - - mientras que son negativos los productos de la otra diagonal, y sus respectivos "triángulos":
  - - - teniendo como ejemplo :
  - - - Se comprueba primero si el determinante de la matriz es distinto de cero, pues en caso
        contrario, la matriz no admite inversa.
        
        Para obtener la matriz inversa A-1 se divide la matriz adjunta de la traspuesta de A por su
        determinante que ya ha sido calculado:
  - - - Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
      - Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
      - Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
      - El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
    - - Podemos descartar una línea si:
      - Todos sus coeficientes son ceros.
      - Hay dos líneas iguales.
      - Una línea es proporcional a otra.
      - Una línea es combinación lineal de otras.
    - - En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.
      - F2 = F2 - 3F1
      - F3 = F3 - 2F1
      - Por tanto r(A) = 3.
- - - - Se trata de una expresión analítica que plantea la determinación de los valores de los
        argumentos que hacen iguales dos funciones.
      - TIPOS DE ECUACIONES
        
        Lineales
        
        La relación existente entre las variables es lineal, es decir, las variables
        aparecen sumando o restando entre si multiplicadas por números reales
        
        No lineales
        
        La función refleja relaciones no lineales entre las variables, serían todas
        las ecuaciones que no fueran lineales.
    - - Es el conjunto de Ecuaciones
      - Tipos de soluciones.
        
        SOLUCIÓN MÚLTIPLE
        
        Existe más de una combinación de valores para las incógnitas que satisface la igualdad.
        
        Solución múltiple con número infinito de valores.
        
        Solución múltiple con número finito de valores.
        
        SOLUCIÓN NO ACOTADA
        
        Una de la incógnitas debe tender a más infinito o menos infinito para que se logre cumplir la igualdad, por lo que podemos aseverar que es una solución imposible de encontrar.
        
        SOLUCIÓN ÚNICA:
        
        Solo existe una combinación de valores para las incógnitas que satisface la igualdad.
        
        INEXISTENTE
        
        No existen combinaciones de valores en el conjunto de números (realesenteros, racionales, etc.) en el que se plantee la búsqueda para las incógnitas que, proporcionen la igualdad planteada en la ecuación.
      - La expresión matricial del sistema lineal de ecuaciones es:
      - TIPOS DE SOLUCIONES DE ECUACIONES LINEALES
        
        Sistema incompatible
        
        Sistema sin solución.
        
        Sistema compatible
        
        Con al menos una solución.
        
        Sistema compatible determinado
        
        Con una solución única.
        
        Sistema compatible Indeterminado
        
        Con infinitas soluciones
        
        Matriz Ampliada
        
        A partir de un sistema de ecuaciones lineal se puede construir la matriz ampliada partiendo de la matriz A de coeficientes de las ecuaciones, añadiendo como última columna, la columna de términos independientes. Se denota por A*
      - MÉTODOS DE RESOLUCIÓN ELEMENTALES
        
        Reducción
        
        Consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
        
        EJEMPLO
        
        Igualación
        
        consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.
        
        Ejemplo
        
        Sustitución
        
        Consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, Y. Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo el valor de Y que ya conocemos.
        
        EJEMPLO
      - MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE CRAMER
        
        Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:
        
        Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
        
        El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.
        
        Para calcular la incógnita x1 del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita X1 según la fórmula.
        
        EJEMPLO
        
        DETERMINANTE DEL SISTEMA ES IGUAL A 4
        
        Reemplazamos los valores independientes por X y sacamos el determinante de esa matriz
        
        Determinante de X es 8
        
        Reemplazamos los valores independientes por Y y sacamos el determinante de esa matriz
        
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        Determinante de Y es -8
        
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        Reemplazamos los valores independientes por Z y sacamos el determinante de esa matriz
        
        Determinante de Z es 4
        
        Z=1
        
        MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS JORDAN
        
        El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación.
        
        EJEMPLO
        
        Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz
        
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        Empezamos a operar para conseguir la matriz identidad
        
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        MÉTODO MATRIZ INVERSA
        
        Los supuestos para su aplicación son los mismos que los de la Regla o Método de Cramer, asícomo los de Gauss. Dado un sistema cuadrado con n ecuaciones e incógnitas, compatible ydeterminado, es decir, rg(A) = rg(A*) = n, lo que implica que A sea regular, se puede obtener lasolución del mismo, (combinación de valores única para todas las incógnitas) mediante la multiplicación
        del sistema en su forma matricial por la matriz inversa de la matriz de coeficientes
        
        EJEMPLO
        
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        :
        
        X =2,Y= -1, Z= 3