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Mapa Relaciones Luis Sepulveda (Representación Alternativa para Relaciones…
Mapa Relaciones Luis Sepulveda
Representación Alternativa para Relaciones
Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En este caso diremos que R es una relación sobre A o una relación en A. Alternativamente al diagrama de flechas del conjunto hacia si mismo:
Ejemplo Si A = { 1, 2, 3, 4 } y R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1) } dibuje el diagrama de flechas de las relación.
Relación Reflexiva
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que ■ R es reflexiva si : ∀ x, ( x ∈ A → ( x, x ) ∈ R ). Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al menos n flechas (suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas ( a, a ) donde a barre todos los elementos de A.
Relación Simétrica
Sea A un conjunto y R una relación. Se dice que R es simétrica si ∀ x, y, (( x, y ) ∈ R → (y, x ) ∈ R ). Que no nos engañe la implicación: no dice que tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice que en caso de haber una flecha de x a y debemos de tener una de y a x en las relaciones simétricas
Relación Antisimétrica
∀ x, y, (( x, y ) ∈ R ∧ (y, x ) ∈ R → x = y ). Cuando están las parejas ( x, y ) y (y, x ) en la relación, es porque las parejas son ( x, x )
Relación Transitiva
∀ x, y,z, (( x, y ) ∈ R ∧ (y,z ) ∈ R → ( x,z ) ∈ R ).
Relación de Equivalencia
si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Relación de Orden Parcial
si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva
Cerradura Transitiva de una Relación
Definicion´ Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura transitiva de R es una relación R ′que cumple: ■ R ′ es transitiva, ■ R ⊆ R ′ ( R ′ contiene a R), y ■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a R también contiene a R ′ . Es decir, la cerradura transitiva de una relación R es la más pequeña relación transitiva que contiene a R
Partición de un Conjunto
