Généralité sur les fonctions

Définitions

Fonction = relation entre élément d'1 ensemble de départ E et éléments d'1 ensemble d'arriver F telle que chq éléments d'ensemble de départ E = à au plus 1 élémt d'ensemble d'arrivée F

ensemble de Df de F = ss ensemble de l'ensemble de départ E contenant tous les éléments de x pour lesquels f(x) existe

Application = fonct° f de E vers F pour laquelle chq éléments de E = à 1 (unique) élément de F. Df=E

Restrict° de f à E' = fonct° f|E' où E' partie de E

Composée de f par g = gof = g(f(x))

Image de x par f = élément f(x) de F avec f:E->F
Image direct de A par f = f(A) fonct° constituée des images de tous les éléments de A (partie de E)
Image de f = image direct de f(E) de E par f = ensemble = Im(f)

Injectivité et surjectivité

f = injective -> tout élément de F a au plus 1 antécédent. <=> eq° f(x)=y a au plus 1 sol
f = surjective -> tout élément de F a au moins 1 antécédent. <=> Im(f)=F càd f(E)=F

Bijectivité

f = bijective -> f est à la fois injective et surjective = tout élément y€F a 1 unique antécédent x€E par f
*bijection réciproque : 1 unique image pour 1 unique antécédent <=> il existe une application de f g:F->E, notée f^-1
f continue et strictement monotone : f établit une bijection de I vers l'intervalle image f(I)

Continuité

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit f:[a,b] -> R continue sur [a,b]. Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe c€[a,b] tel que f(c)=y

Corollaire de Bolzano
Soit f:[a,b]-> R continue sur [a,b], si f(a)xf(b)<0 alors il existe c€]a,b[ tel que f(c)=0

Corollaire
Soit f:I->R continue sur I intervalle de R f(I) est un intervalle

Théorème de la bijection
Soit I un intervalle de R, f une fonct° définie sur I vers f(I)

  • Si f continue strict monotone
    • f établit biject° de I vers intervalle image f(I)
    • Biject° réciprq f-1:J->I est continue et strict monotone sur J avec même sens de variat° de f
  • Si f est en + dérivable en x€I avec f'(x) diff 0, alors f-1 est déribale en y=f(x)

Si f est dérivable sur I alors f continue sur I

Dérivées successives

  • dérviée n-ième de f = f^(n)
  • f^(0)=f

Calcul d'intégrales et de primitives

1er théorème

  • Soit f:[a,b]->R continue (avec a,b réels et a<b)
    La fonct° F définie pour tout x€[a,b] par F(x)=Sf(t)dt = dérivable sur [a,b], F'(x)=f(x)
    Il s'agite de la seule primitive de f qui s'annule en a

2nd théorème

  • Soient a et b réels tels que a<b
    Soit f:[a,b]->R continue et F une primitive de f sur [a,b], on a
    Sf(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x)]a^b

Changement de variable
Lorsq u = fonct° bijective, il est équivalent de choisir un valeur pour la variable x ou de choisir son image u(x).
On traite donc cette image comme une variable notée elle aussi u (at° abus formel trouvant sa justificat° en réalité mais non dvlp).
On a formellemnt : Sf(u(x))u'(x)dx=Sf(u)du
avec du=u'(x)dx