Trasformata di Fourier
Utilizzo
Permette di analizzare i segnali a supporto illimitato nel tempo
Terminologia
Un segnale trasformato viene detto Spettro di Fourier o Spettro in frequenza
Proprietà
Linearità
Simmetria
Anticipo/Ritardo
Modulazione
Scalamento
Principio di indeterminazione
Prodotto di convoluzione
Variabilità nel tempo
Derivazione
Esistenza
Il modulo quadro dello spettro di Fourier viene detto Spettro di energia
La trasformata di una somma di segnali è uguale alla somma delle trasformate di ciascun segnale
Non è valida per gli spettri di energia, si introduce lo spettro mutuo di energia
Se il segnale è reale, allora riferendosi allo Spettro di Fourier:
- La parte reale è pari
- La parte immaginaria è dispari
Nei segnali reali le frequenze negative degli spettri di Fourier non aggiungono informazione
Ogni segnale a energia finita è trasformabile secondo Fourier
Lo spettro di Fourier rimane invariato se il segnale a cui è associato viene traslato (anticipo/ritardo)
Se un segnale viene moltiplicato per una sinusoide complessa, lo spettro associato viene traslato di una frequenza pari alla frequenza della sinusoide complessa
Se un segnale è caratterizzato da un fattore di scalamento diverso da "1", esso può essere compresso (|K| > 1) o dilatato (|K| < 1) nel tempo; rispettivamente, lo spettro verrà dilatato o compresso in frequenza
Un filmato "velocizzato" possiede un fattore di scalamento maggiore di "1", è cioè compresso, e questo richiede che lo spettro di Fourier si dilati in modo da comprendere frequenze maggiori
La convoluzione tra due segnali corrisponde al prodotto dei rispettivi spettri di Fourier
Il prodotto tra due segnali corrisponde alla convoluzione dei rispettivi spettri di Fourier
La derivata di un segnale nel tempo corrisponde allo spettro di Fourier per un fattore moltiplicativo
Nel dominio della frequenza le equazioni differenziali vengono ricondotte a equazioni algebriche
Il decremento/incremento di un segnale nel tempo è limitato e dipende da:
- Banda "B" del segnale
- Superficie totale dello spettro di Fourier
Definite la durata "T" e la banda "B" di un segnale e del suo spettro, si ha:
- BT ≥ 0.5
"T" e "B" rappresentano misure di dispersione (deviazioni standard associate al tempo e alla frequenza), il principio dice che il prodotto delle dispersioni ha un limite inferiore
Supporto nel tempo/in frequenza
Rispetto al supporto, si osserva che:
- Segnale limitato, spettro illimitato
- Segnale illimitato, spettro limitato
Dualità
Vi è simmetria tra segnale e spettro
Ci dice quali frequenze esistono nel segnale