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Matrices (DETERMINANTES : (DETERMINANTES DE ORDEN 2 (El determinante de la…
Matrices
DETERMINANTES :
DETERMINANTES DE ORDEN 2
El determinante de la matriz cuadrada de orden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria
DETERMINANTES DE ORDEN 3
se llama determinante A al numero real
Regla de Sarrus
PRODUCTOS CON SIGNO POSITIVO: están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas(por encima, por debajo), con su correspondiente vértice opuesto
PRODUCTOS CON SIGNO NEGATIVO: se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de la diagonal paralela , con su correspondiente vértice opuesto
.
se
Representan por la matriz entre dos barras parelelas
En una matriz cuadrada
se denomina determinante de una matriz cuadrada al numero que resulta de sumar/restar todos los productos que pueden obtenerse tomando un solo factor de una fila y columna.
los productos resultantes son n, si n es el orden de una matriz cuadrada
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MENOR COMPLEMENTARIO DE UN ELEMENTO
Es el elemento que resulta de suprimir la fila y la columna donde se encuentra ese elemento en la matriz.
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una ves obtenido el menor complementario, podemos calcular la adjunta
ADJUNTO DE UN ELEMENTO
Es igual al menor complementario el elemento, multiplicado por -1, elevando a la suma de la fila mas la columna donde se encuentra ese elemento de la matriz
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DESARROLLO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN ( n )
Dado un determinante de orden n, se puede obtener su valor mediante el producto de los elemnetos de una fila cualquiera, por sus correspondientes adjuntos
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PROPIEDADES
1.- El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: l A l = l A^ I
2.- Si se permutan entre si dos filas o dos columnas, el determinate cambia de signo I A I = -I B I
3.-Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinate es nulo
4.-Si en un determinante se multiplica por el numero todo los elementos de una fila o de una columna, el determinante queda multiplicado por ese numero, ya que todos los sumados que proporcionan el resultado del determinante están multiplicados por dicho numero.
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5.-Si el determinante tiene dos filas o dos columnas proporcionales, el determinante es nulo
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SISTEMA DE ECUACIONES
Métodos de resolución
Cramer
Regla de Cramer
Sistema cuadrado: m=n
El determinante de la matriz de coeficiente NO sea nulo, A es regular
Ejemplo
Gauss
Obtener una matriz de coeficientes triangulares de un sistema equivalente
Ejemplo
Matriz Inversa
se obtiene mediante la multiplicación del sistema en su forma de matriz
Ejemplo
Métodos de resolución Elementales
Reducción
Basado en la existencia de sistemas equivalentes
ejemplo
Igualación
Consiste en despejar la misma incógnita en dos ecuaciones del sistema e igualar las
expresiones resultantes, quedando una ecuación con el número inicial de incógnitas menos uno.
Ejemplo
Sustitución
Es despejar la incógnita en una de las ecuaciones
Ecuaciones Lineales
Planteamiento general
La expresion matricial
Matriz Ampliada
Clasificación
Sistema Incompatible
Sin Solucion
Sistema Compatible
con al menos una solución
Indeterminado
Solución Única
Determinado
Infinitas Soluciones
Equivalentes
Cuando las ecuaciones, tienen las mismas soluciones
Obtención
Cuando el sistema resultante es equivalente al original
Ecuación
Expresión analítica, plantea la determinación de valores que hacen iguales a dos funciones
f(x)-g(x)=h(x)-b=0 →h(x)=b
h: R^n→R,x=(x_1,x_2,…,x_n )∈R^n,b∈R
Sistema de Ecuaciones
Conjunto de ecuaciones
Tipos
Lineales
No Lineales
Ecuaciones No Linales
Planteamiento
Solución
No existe un método general, mas bien es una combinación de métodos elementales con los específicos
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MATRICES ESPECIALES.
Se definen a continuación una serie de matrices especiales, quedando por definir otro tipo de
matrices especiales tras introducir las operaciones con matrices y el concepto de determinante de una
matriz cuadrada en secciones posteriores.
OTRAS MATRICES
Matriz adjunta
Matriz Inversa
Matriz Ortogonal
Matriz Regular
Matriz Singular
Es aquella matriz que No admite matriz inversa pues su determinante es NULO
ejemplo:
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es aquella matriz que admite matriz inversa pues su determinante es distinto de cero.
Se dice que una matriz A es ortogonal si multiplicada por su traspuesta da como resultado la matriz identidad, o dicho de otra manera, si su matriz traspuesta es igual a su matriz inversa.
A^T representa la matriz traspuesta de A e I representa la matriz identidad.
para obtener la matriz inversa de una matriz A se utiliza la matriz adjunta
Es condicion necesaria que el determinante de A sea distinto de 0
es otra matriz cuyo producto por la primera es igual a la matriz identidad.
sea A una matriz de dimension mxn, denotamos al elemento de la fila i y la columna j de A por a.i.j
siendo la matriz A.i.j, la submatriz de A al eliminar la fila i y la columna j .
Rango de una Matriz
es el numero de lineas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes
se simboliza:
calculo por el metodo de Gauss
solucion
podemos descartar una linea si:
Una linea es proporcional a otra
Una linea es combinación de otras.
hay dos lineas iguales
Todos sus coeficientes son ceros
una linea linealmente dependiente de otras u otras cuando se puede establecer una combinacion lineal entre ellas.
una linea es lineamente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una conbinacion lineal entre ellas.
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Matriz fila.
Formada por una sola fila. También se conoce como vector fila
Ejemplo:A=(5 0 -3 2)
Matriz columna.
Matriz formada por una sola columna. También se conoce como vector columna.
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En una matriz cuadrada se llama diagonal principal a la línea oblicua formada por los elementos aij cuyos subíndices son
iguales.
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, m = n.
Matriz cuadrada
Matriz triangular
cuyos elementos de las posiciones inferiores o superiores a la diagonal principal son 0
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Matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal son todos ceros, aij = 0, ∀i < j.
Matriz triangula inferior.
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Operaciones con Matrices Traspuestas
Suma:Dada dos matrices del mismo orden A yB se define su suma coo otra matriz ,C, del mismo orden que las matrices sumando cuyos elementos se obtiene sumando a cada elemento de la primera matriz
:
Operacciones con matrices:
Matrices traspuestas.Dada una matriz A= [aij] de orden mxn, A∈Mmxn, su traspuesta es otra matriz que se represe por :
At=∈Mnxm,
Matriz Antisimétrica la traspuesta coincide con su matriz opuesta.Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas
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Matriz diagonal:es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son todos
nulos, aij = 0, ∀i ≠ j. Se trata de una matriz que es simultáneamente matriz triangular superior enferior.
Matriz identidad
Matriz Identidad:es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad, aij = 0, ∀i ≠ j; aij = 1, ∀i = j. Se representa por la letra I, mayúscula
Matriz identica o igual :dada una matriz A= [aij] de orden mxn, se dice que es igual a la matriz B=[bij] del mismo orden
si se verifica que aij= bij ∀i=1, 2, ..., m; ∀j=1, 2, ..., n.
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La matriz opuesta de una matriz A = [aij] es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son
los de la matriz A multiplicados por -1.
Matriz nula.
Es aquella cuyos elementos son todos nulos.
La Definición de orden de una matriz.
Se llama orden de una matriz al número de filas por el número de columnas de dicha matriz
2.-La matriz traspuesta de la matriz que resulta multiplicar un numero por matriz es igul al producto del mismo numero
3.-La matriz traspuesta de la matriz que resulta al producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las martices que se multiplican cambiando el orden del producto
4.-Matriz Idempotente:Es aquella matriz cuadrada cuyo producto por si misma es igual a si misma
1.- La matriz traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las matrices traspuestasde las matrices sumando:t t t (A + B) = A + B
Resta:La resta de las dos matrices del mismo orden Ay B se define con la suma de A mas la matriz opuesta de B por lo que resultara ser otra matriz del mismo orden D, cuyos elementos se obtienen al restar a cada elemento de la primera matriz
Producto de una matriz por un número.Dada una matriz A = [ aij]mxn y número real α∈R, se define el producto de un número por esa matriz como otra matriz B del mismo orden cuyos elementos se obtienen de multiplicar cada uno de los elementos de A por el número α
Producto de matrices. Para poder multiplicar dos matrices A y B, ( B A ⋅ ), el número de columnas de la matriz que lugar, B.
