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Galois y las matemáticas (Los números naturales tienen algo en común:…
Galois y las matemáticas
Los números naturales tienen algo en común: todos se pueden obtener sumando 1 a sí mismo un número determinado de veces
Pero queremos ser capaces también de sumarlos, de modo que tendremos que incluir las sumas m/n + k / l √2
Las simetrías de un cuerpo numérico se pueden aplicar una tras otra igual que las simetrías de un objeto geométrico. No es sorprendente, por tanto, que estas simetrías formen un grupo. A este grupo se el denomina grupo de Galois del cuerpo numérico
Galois se dio cuenta de que habían buscado en el lugar erróneo. Lo que deberían haber hecho, dijo, era centrarse en el grupo de simetrías del cuerpo numérico obtenido al unir las soluciones de esta ecuación a los números racionales: los grupos de Galois
Números enteros:... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
Números racionales o fraccionarios: 2/8, 2.59. Podemos formar la fracción m/n a partir de dos números cualesquiera, m y n. Si m y n tienen un divisor común (d) podemos decir que m=dm´ y n=dn´. Podemos entonces suprimir d y escribir, en su lugar, m´/n´ en lugar de m/n
√2 no puede ser representada como m/n; y solo podremos hacer aproximaciones pero nunca podremos dar con el número, siempre será una aproximación
De un modo más general, podemos pensar en otras ecuaciones para la variable x, en lugar de x2=2. Por ejemplo, la ecuación cúbica x3-x+1=0
Como queremos ser capaces de multiplicar los números de este nuevo sistema numérico, tendremos que incluir todos los números que sean productos de números racionales por √2
Estos tienen la forma k / l √2. De modo que nuestro sistema numérico deberá incluir todas las fracciones m/n y todos los números con el formato k / l √2. Pero queremos ser capaces también de sumarlos, de modo que tendremos que incluir las sumas m/n + k / l √2
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En este intercambio, los números racionales no experimentan cambio. Por tanto, el número de la forma m/n + k / l √2 irá al número de la forma m/n + k / l √2*
De esta manera obtenemos muchos sistemas numéricos diferentes, o, como los matemáticos denomina, cuerpos numéricos
La palabra "cuerpo"* hace referencia a que este sistema numérico es cerrado con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división
Si las soluciones de una ecuación como esta no son números racionales entonces podemos unirlas a los números racionales. También podemos unir, a los números racionales, las soluciones de varias de estas ecuaciones a la vez
Lo que Galois hizo fue llevar la idea de simetría, que comprendemos de manera intuitiva en la geometría, al escenario central de la teoría de números. Es más: demostró el impresionante poder de las simetrías
Antes de Galois los matemáticos se centraban en intentar descubrir fórmulas explícitas para las soluciones de ecuaciones como x2=2 y x3-x+1=0. Las llamadas ecuaciones polinómicas
La tarea de resolver una ecuación polinómica en términos de radicales se va complicando a medida que sube el grado de la ecuación
Con anterioridad a Galois, muchos matemáticos habían buscado desesperadamente al fórmula para soluciones de la ecuación de quinto grado durante casi trescientos años, pero en vano
En realidad, Galois pudo demostrar que una fórmula para soluciones en términos de radicales (es decir, raíces cuadradas, cúbicas, etc.) existe si y solo si el correspondiente grupo de Galois tiene una estructura especialmente sencilla: un grupo resoluble
Galois demostró que el grupo de simetrías de una ecuación típica de grado 5, o de nivel superior, no es resoluble
La ecuación x2=2 tiene dos soluciones, √2 y -√2, que adjuntamos a los números racionales. El grupo de Galois del cuerpo numérico resultante consiste, pues, en dos elementos: la identidad y el intercambio simétrico entre √2 y -√2