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TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (Técnicas de conteo: Son aquellos procedimientos…
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Técnicas de conteo: Son aquellos procedimientos algebraicos utilizados para conocer el número de posibles resultados de un experimento sin enumerarlos. Estos se dividen así:
Permutaciones con elementos repetidos: Son aquellos donde el primer, segundo, y los demás elementos pueden ser repetidos.
Para esto debe tenerse en cuenta que: Entran todos los elementos, existe un orden y sí se repiten todos los elementos. Su fórmula es : n! / (n1! - n2!)
donde:
n: Cantidad de elementos
n1: Cantidad de elementos repetidos de un primer tipo
n2: Cantidad de elementos repetidos de un segundo tipo
Se debe cumplir que: n1 + n2= n
Espacio muestral: El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Es decir, se compone de todos y cada uno de los sucesos elementales.
S es la letra con la que se representa dicho evento y cada elemento que pertenece a S se llama
punto muestral. S es discreto sí pertenece a numero naturales y pueden ser finitos o infinitos. Sí S es contínuo y pertence a números reales es infinito.
Permutaciones: Son formas ordenadas o arreglos
diferentes que se pueden hacer con los elementos de un grupo.
La fórmula de las permutaciones se puede expresar en notación factorial completando el producto.
El número de r permutaciones de un conjunto de n elementos distintos es :
Eventos: Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es subconjunto del espacio muestral S. También existen eventos tales como:
Nulo: no contiene resultados
Simple: contiene un solo resultado.
Excluyente: No contiene resultados comunes.
Un caso especial sobre esta técnica de conteo son las permutaciones con todos los elementos, su fórmula es así: n! / 0! = n!
Arreglo circular: Son aquellos que se aplican a conjuntos ordenados de forma circular donde el primer y el último elemento del grupo de elementos estén conectados.
Para que los arreglos sean diferentes se debe fijar un elemento, mientras que los otros son intercambiables.
Su fórmula es: (n-1)!
Ejemplo: ¿De cuántas formas posibles se pueden colocar 5 personas alrededor de una mesa? Rpta: (5-1)! = 4! = 24
Permutaciones con n elementos y k grupos con elementos repetidos:
Ejemplo: ¿Cuántos arreglos diferentes pueden hacerse con las letras de la palabra matemática?
n: 10 (Total de elementos)
n1: 2 (Repeticiones letra M)
n2: 3 (Repeticiones letra A)
n3: 2 (Repeticiones letra T)
Nota: Las otras letras ocurren una sola vez
Respuesta
10! / (2! 3! 2! 1! 1! 1!) = 151200
Combinaciones: Es un arreglo que se puede realizar con los elementos de un conjunto donde el orden no es importante.
Su notación es C(n,r) donde:
n es la cantidad de elementos del conjuntos
r cantidad de elementos en cada arreglo.
Experimento estadístico: Es un proceso mediante el cual se realiza una observación para un estudio de interés. Se dice que es un experimento estadístico cuando cumple las siguientes características:
Se conocen cuales son todos los resultados antes de la ejecución.
Cualquier realización del experimento debe conducir a un resultado que no es conocido como previo a tal ejecución, pero se sabe que es uno de los "posibles"
El experimento puede ser repetido bajo idénticas condiciones
4.Se establece la regularidad estadística
σ-Álgebra: Sobre un conjunto X es una familia no vacía de subconjuntos de X. Esta incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.
Probabilidad de eventos: Es la probabilidad de que ocurra un evento en específico.
Los tipos de probabilidad son:
1.Empírica: Se aplica cuando: la cantidad de veces que el evento ocurre, se divide este por la cantidad total de observaciones.
Modelos matemáticos: Se construyen modelos para la determinar la probabilidad que ocurra el evento según modelos de variables discretas o continuas.
Asignación clásica: Es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables sobre el total de resultados posibles.
Probabilidad de evento simple: Es el resultado más básico de un experimento, es decir, un punto en el espacio muestral.
Axioma de probabilidad de eventos: Son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.
Se dividen en tres axiomas así:
La probabilidad de un evento no puede tener valores negativos.
La probabilidad de que un resultado pertenezca al espacio muestral es 1.
Si los eventos son mutuamente excluyentes su probabilidad es la suma de las probabilidades de ambos eventos.
Propiedades de la probabilidad de eventos:
Probabilidad condicional: Es la probabilidad de que ocurra un evento A sabiendo que también sucede otro evento B.
Eventos independientes: Evento cuyo resultado no tiene que ver con el resultado de otro(s) evento(s). Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores.
Regla multiplicativa de la probabilidad: permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo. Esta regla depende de si los eventos son dependientes o independientes.
Probabilidad total: Es aquel que permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas.
Teorema de Bayes: El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.
El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total.
Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.
