Simetría
La simetría de un objeto tiene que ver con que mantenga su forma y su posición
Una de estas rotaciones es especial (90, 180, 270, 360): la rotación a 360 grados es la misma que la rotación a 0 grados. Se trata de una simetría especial. La llamamos: identidad
Si aplicamos dos rotaciones de la lista (90, 180, 270, 360) una después de la otra, obtendremos otra rotación de la misma lista.Llamamos a esta nueva simetría una composición de las dos
Al rotar 90 grados y luego 270 grados más, obtenemos una rotación total de 360 grados. Pero el efecto de una rotación de 360 grados es el mismo que el de una rotación de 0 grados. Esta es la "identidad"
En otras palabras: la segunda rotación de 270 grados deshace la rotación inicial de 90 grados; esta es, en realidad, una propiedad importante: toda simetría puede deshacerse, es decir: para toda simetría S existe otra simetría S´ tal que su composición sea la simetría identidad.
Al conjunto de rotaciones, junto con estas tres estructuras, constituye un ejemplo de lo que los matemáticos denominan un grupo
Las simetrías de cualquier otro objeto también constituyen un grupo, que en general tiene más elementos: posiblemente infinitos
Cada punto de una circunferencia corresponde a un ángulo de entre 0 y 360 grados. Pero no deberíamos pensar en los puntos de esta circunferencia como puntos de la mesa redonda. Más bien, cada punto de la circunferencia representa una rotación determinada de la mesa redonda
La composición de dos rotaciones, en los ángulos φ1 y φ2, es la rotación de la suma de ángulos φ1+φ2. Si φ1+φ2 es mayor a 360 grados, sencillamente restamos 360 grados. En matemáticas a esto se le llama suma de módluo 360
La composición de simetrías satisface también la propiedad de asociatividad
Grupo circular
Hay una importante propiedad que cumple la composición de simetrías, que es al asociatividad: dadas tres simetrías, S, S´ y S´´, tomar su composición con dos órdenes diferentes (SS´)S´´ y S(S´S´´) da el mismo resultado. Esta propiedad está incluida en la definición formal de grupo de axioma adicional.
Un grupo de simetrías es un objeto abstracto muy diferente del objeto concreto con el que comenzamos
El objetivo fundamental de la teoría matemática de simetrías no es el estético
Es formular el concepto de simetría en los términos más generales y, por tanto, más abstractos, que se aplicar de manera unificada en diversos campos
Podemos hablar de los mecanismos de la ruptura de simetría, ver la asimetría emergente, en otras palabras
Por ejemplo, las partículas elementales adquieren masa porque la llamada simetría de gauge a que obedecen se rompe
Cualidades básicas de la teoría abstracta de simetrías
1°: Universalidad. El grupo circular no es tan solo el grupo de simetrías de una mesa redonda, sino de todos los objetos redondos
2°: Objetividad. El concepto de un grupo, es independiente de nuestra interpretación
3°: Resistencia. Hay matemáticas que serán verdaderas para siempre
4°: Relevancia. Por ejemplo, se han realizado grandes progresos en física cuántica gracias a la aplicación del concepto de simetrías a las partículas elementales. El grupo de simetrías para las partículas elementales es SU(3). (SU, special unitary, "unitario especial")
Somos capaces de imaginar un espacio adimensional, unidimensional, bidimensional y tridimensional, pero no logramos imaginar un espacio tetradimensional
Representación de un espacio tetradimensional: (x,y,z,t), tridimensional (x,y,z). De igual manera, representamos los puntos de cualquier espacio n-dimensional, para cualquier número natural n, mediante grupos de n números
Si todos los elementos de un grupo pueden generarse, de un modo consistente, como simetrías de un espacio n-dimensional, podemos decir que el grupo tiene "una representación n-dimensional"
Resulta que un grupo determinado puede tener representaciones de diferentes dimensiones. La razón por la que las partículas elementales se pueden ensamblar en grupos de 8 y 10 es que el grupo SU(3) posee una representación 8-dimensional y una representación 10-dimensional. Las partículas no pueden ensamblarse en, digamos, familias de 7 u 11, porque las matemáticas demuestran que el grupo SU(3) no posee representaciones 7- u 11-dimensionales
En el siglo XIX, el matemático Fedorov, encontró la clasificación completa de las simetrías, demostró que no puede haber más de 17 tipos de simetría, a estos grupos de simetría los matemáticos los llaman: los 17 grupos de simetrías del plano
Giro: es cuando puedo elegir un punto, girar entorno a ese punto y parece que se queda igual
Traslación: cuando puedo mover el dibujo y parece que se ha quedado igual
Reflexión: es cuando puedo elegir un eje de reflexión, darle la vuelta al dibuja y parece que se queda igual