Неравенства

Решения неравенств методом интервалов

Пример

Алгоритм

Шаг 1:
Приравнять все множители к нулю

Шаг 2:
Найти корни получившихся уравнений

Шаг 3:
Отметить полученные корни на координатной прямой

Шаг 4:
Отметить знаки на полученных интервалов

Шаг 5:
Определить по знаку неравенства нужный интервал

Внимание

Если стоит знак < , >, то неравенство строгое ○ )
Если стоит знак ≤ , ≥, то неравенство нестрогое ●]

Нужно помнить, что при переходе через каждый корень знак должен меняться,
НО знак не меняется в том случае, если в неравенстве есть многочлен, возведенный в степень.

Шаг 1:
(x − 2)(x + 7) < 0

Шаг 2:
(x − 2)(x + 7) = 0

Шаг 3:
sample2

Шаг 4:
sample3

Шаг 5
Ответ: (−7; 2)

Решение линейных неравенств

Алгоритм

Шаг 1:
Раскрыть скобки (если они есть), перенести х в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые.

Шаг 2:
Полученное неравенство необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент при a.

Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax ≥ b

ax ≤ b

ax > b

ax < b

•Если a > 0, то неравенство приобретает вид x ≤ b/a.

•Если a < 0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x ≥ b/a.

Шаг 3:
Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков

222

Пример

Шаг 1:
6-3x > 18
-3x > 18-6
-3x > 12

Шаг 2:
a = -3 следовательно
x < 12/-3
x < -4

Шаг 3:
x ∈ (-∞; -4)

Решение рациональных неравенств

Алгоритм

Примеры

Шаг 1:
Перенести все множители и слагаемые в левую часть

Шаг 2:
Разложить на множители

Шаг 3:
Найти ОДЗ

Шаг 4:
Найти корни

Шаг 5:
Отметить полученные корни на координатной прямой

Шаг 6:
Расставить знаки на интервалах

Шаг 7:
Выбрать подходящие промежутки

Шаг 8:
Записать ответ

яна1

Шаг 1:
яна2

Шаг 2:
яна3

яна4

Шаг 3:
ОДЗ: х(х-2) не= 0
х не= 2

Шаг 4:
яна5

Шаг 5 - 7:
яна6

Шаг 8:
яна7

Решение квадратичных неравенств

Алгоритм

Примеры

яна1.1

Шаг 3:
ОДЗ: х+7 не=0
х не= -7

Шаг 4:
шаг4.1

шаг4.2

Шаг 5:
шаг5

Шаг 6-7:
шаг 6-7

Шаг 8:
шаг8

Решение с помощью параболы
Шаг 1:
Определить направление ветвей

Если а>0, то ветви параболы направлены вверх;

Если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Шаг 2:
Найти точки пересечения с осью ОХ (приравнять к нулю и решить полученное квадратное уравнение через Дискриминант или по теореме Виета)

Шаг 3:
Построить схематично график и определить по нему промежутки, на которых у >0 или у<0

Шаг 4:
Записать ответ

Решение методом интервалов
Шаг 1:
Решения квадратных неравенств методом интервалов.

Если стоит знак <, >, то неравенство строгое. ○ )
Если стоит знак ≤, ≥, то неравенство нестрогое. ●]

Шаг 2:
Приравнять неравенство к нулю и решить полученное уравнение ( найти точки пересечения уравнения с осью ОХ)

Шаг 3:
Отметить полученные точки на оси ОХ.

Шаг 4:
Определить знак каждого интервала

Шаг 5:
Определить по знаку неравенства нужный интервал.
Записать ответ

Если стоит знак < , >, то неравенство строгое ○ )
Если стоит знак ≤ , ≥, то неравенство нестрогое ●]

Пример 1: к1

Пример 2: к2

Пример 3: к3

Пример 4: к4

Пример 5: к5

Пример 6: к6