I RADICALI
La radice n-esima di un numero reale a, con n un numero naturale diverso da 0, si indica con: 
ed è un numero reale b che ha lo stesso segno di a e tale che 
.
CONDIZIONI DI ESISTENZA
Se n è dispari, esiste per ogni a ∈ R.
Se n è pari, esiste per ogni a ≥ 0
Con n ∈ N e n ≠ 0
Se n è dispari: a ∈ R, b ∈ R;
Se n è pari: a ≥ 0, b ≥ 0;
SEGNO DI UN RADICALE
è sempre positivo o nullo se n è pari;
Ha lo stesso segno del radicando se n è dispari
SEMPLIFICAZIONI DI RADICALI
Un radicale si può semplificare quando è possibile dividere l’indice di radice e gli esponenti del radicando per lo stesso numero.
Quando l’operazione non è possibile allora l’indice di radice e gli esponenti del radicando risultano primi fra loro ed il radicale si dice irriducibile
RIDUZIONI DI RADICALI ALLO STESSO INDICE
Se i radicali sono espressioni letterali, quando semplifichiamo dobbiamo tenere presente che il radicale semplificato deve avere:
- le stesse condizioni di esistenza;
- lo stesso segno del radicale iniziale
Per rendere vere queste due soluzioni, a volte è necessario, nel semplificare, utilizzare il valore assoluto delle espressioni del radicando.
Per ridurre 2 o più radicali (aritmetici allo stesso indice si procede come
segue:
- si decompongono in fattori primi tutti i radicali;
- si rendono irriducibili tutti i radicali;
- si calcola il m. c. m. (minimo comune multiplo) fra gli indici di tutti i radicali e lo si assume
come minimo comune indice per tutti i radicali;- si divide il m. c. m. per l’indice di ciascun radicale e si moltiplica il quoziente ottenuto per
l’esponente di ogni fattore di ciascun radicando.
- si divide il m. c. m. per l’indice di ciascun radicale e si moltiplica il quoziente ottenuto per
OPERAZIONI CON I RADICALI
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
Se i radicali hanno stesso indice
Il prodotto di 2 o più radicali, aventi lo stesso indice, è un radicale aritmetico che ha per
indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi.
con a ≥ 0, b ≥ 0 e n ∈ N
Il quoziente tra 2 radicali, aventi lo stesso indice, è un radicale che ha per indice lo stesso indice e
per radicando il quoziente dei radicandi.
con a ≥ 0, b > 0 e n ∈ N
PORTARE UN FATTORE DENTRO O FUORI DAL SEGNO DI RADICE
Trasporto di un fattore dentro al segno di radice
Per portare un fattore positivo sotto il segno di radice è necessario moltiplicare l’esponente del
fattore per l’indice della radice.
Consideriamo il radicale 
per portare sotto il segno di radice il fattore a (supposto positivo) si
opera con la proprietà fondamentale dei radicali, cioè: 
, applicando la regola vista per la moltiplicazione: 
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
con a ≥ 0 se n è pari;
con ∀ a ∈ R se n è dispari
POTENZA DI UNA RADICE
E’ possibile allora effettuare la divisione tra m ed n. Indicando con q il quoziente e con r il resto si ha: m = nq + r, si applica la proprietà invariantiva del prodotto con stessa base: 
Se il fattore da portare dentro il segno di radice è negativo, allora si porta dentro la radice il suo
Valore Assoluto e si lascia fuori dalla radice il segno.
Dopo aver scomposto in fattori il radicando, se un fattore ha esponente uguale all'indice o multiplo dell'indice si ha 
con m > n
per la regola inversa del prodotto
di radicali e portando successivamente il 1° radicale a forma irriducibile si ha:
La potenza n-esima di un radicale di indice m è un radicale di indice m e che ha per radicando la
potenza n-esima del radicando.
con a ≥ 0 e n,p ∈ N
RADICE DI UN RADICALE
La radice n-esima della radice m-esima è il radicale di indice m n che ha per radicando lo stesso
radicando.
In formula: 
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Per sommare o sottrare i radicali, è necessario ridurre i radicandi. E' ridotto quando sul radicando si sono eseguite tutte le semplificazioni possibili e si sono portati fuori dal segno di radice tutti quei fattori aventi esponente maggiore o uguale all’indice del radicale.
Il fattore che si trova davanti ad un radicale ridotto si chiama coefficiente del radicale.
2 o più radicali aritmetici si dicono simili quando hanno lo stesso indice, lo stesso radicando
e differiscono, eventualmente, solo per il coefficiente.
se i radicali sono tutti simili, la somma algebrica di 2 o più radicali è il radicale simile ai
dati, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti;
RAZIONALIZZAZIONE
Quando in una frazione compaiono al denominatore uno o più radicali si può razionalizzare
l’espressione.
Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trovare una frazione equivalente alla data
avente il denominatore privo di radicali e per far questo si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, cioè si moltiplicano numeratore e denominatore per una stessa quantità (che si chiama nel
caso specifico fattore razionalizzante).
Il denominatore è un radicale irriducibile
Il denominare è la somma o la differenza di due radicali quadratici:
