RADICALI
radice quadrata
La radice quadrata di un numero reale a≥0 è il numero b≥0 che elevato al quadrato dà a.
√9=33²=9
radice cubica
La radice cubica di un numero a qualsiasi è il numero b che elevato al cubo dà a. Per indicare l'operazione di radice cubica, usiamo il simbolo ³√.
³√8=2 2³=8
radice n-esime
proprietà
condizioni di esistenza
definizione
segno di un radicale
proprietà invariantiva
semplificazione di radicali
riduzione di radicali allo stesso indice
La radice n-esima del numero reale a, con n numero naturale diverso da 0:
se n è pari, esiste solo per a≥0; è il numero reale b≥0 ;
se n è dispari, esiste per ogni a ∈ R; è il numero b ∈ R.
se n è pari
se n è dispari
e viceversa
è sempre positivo o nullo se n è pari;
ha lo stesso segno del radicando se n è dispari.
n pari
n dispari
Considerato un radicale il cui radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, otteniamo un radicale equivalente.
Possiamo semplificare un radicale, con radicando positivo o nullo, in cui indice ed esponente del radicando hanno un fattore comune. Per farlo, dividiamo sia l'indice sia l'esponente per il fattore comune.
Usando la proprietà invariantiva, possiamo trasformare radicali con indici diversi in radicali con lo stesso indice. Di solito si usa, come indice comune, il minimo comune multiplo fra gli indici.
moltiplicazione e divisione
trasporto
divisione
moltiplicazione
Il prodotto di due radicali con lo stesso indice e con radicando positivo o nullo è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il prodotto dei radicandi.
Il quoziente di due radicali con lo stesso indice, il primo con radicando positivo o nullo e il secondo con radicando positivo, è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il quoziente dei radicandi.
con a≥0, b≥0 e n∈N
con a≥0 e b>0 e n∈N
dentro radice
fuori radice
con a≥0 se n è pari
∀a ∈ R se n è dispari
se n è pari
se n è dispari
potenza e radice
addizione e sottrazione
potenza
radice
La potenza di un radicale con radicando positivo o nullo è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando la potenza del radicando con lo stesso esponente della potenza del radicale.
La radice di un radicale con radicando positivo o nullo è un radicale con lo stesso radicando che ha per indice il prodotto degli indici.
con a≥0 e n, p ∈ N
con a≥0 e n, m ∈ N
potenze con esponente razionale
Due radicali scritti nella forma bahhbfhcbw sono radicali simili, se le radici hanno lo stesso indice n e lo stesso radicando b. Otteniamo la somma algebrica dei radicali simili raccogliendo il radicale in comune e sommando algebricamente i coefficienti.
razionalizzazione
Il denominatore è un radicale irriducibile.
Il denominatore è la somma o la differenza di due radicali quadratici.
se abbiamo jsshasj , con a>0 e m<n, il fattore utile per razionalizzare, ottenendo gsdfj al denominatore, è jdhkjf.
Per fare in modo che il denominatore non contenga radici quadrate, l'unica possibilità è utilizzare il prodotto notevole somma per differenza, per ottenere la differenza dei due radicali.
=
=
con a>0, b>0 e a ≠ b.
=
=
=
potenza con esponente razionale negativo
potenza con esponente razionale positivo o nullo
con a≥0; m,n ∈ N e n ≠ 0
con a>0; m,n ∈ N e n ≠ 0
equazioni, disequazioni, sistemi con i radicali.
Le operazioni con i radicali e le loro proprietà permettono di risolvere equazioni, disequazioni e sistemi lineari con coefficienti irrazionali, mediante procedimenti analoghi a quelli utilizzati quando i coefficienti sono razionali.
radicali doppi
I radicali doppi sono un particolare tipo di radicale, definiti più precisamente come radicali concatenati l'uno dentro l'altro mediante una somma o una differenza. Si possono semplificare con una semplice formula.