機率與統計

前言：數學裡"若P(試驗)則Q(結果)"，
但現實常非這麼確定唯一
當"若P(隨機試驗)則Q1、Q2...時，
需要根據不完整的資訊做決定時...

把不確定的程度量化

統計這些不確定

以機率語言詮釋

做出合理推論

加入信賴區間來描述

名詞認識

隨機現象：含不確定性的現象(ex：丟硬幣有正反兩面)

隨機試驗(ex：操作一個丟硬幣試驗n次)

隨機變數X(ex：出現正面的次數，x=1,2,3...)

機率質量函數P：
隨機變數的機率
(ex：出現x次正面的機率)

Pi >= 0

P1+P2+...+Pn = 1

統計隨機變數

期望值E(X)：每種結果依其發生機率來加權

變異數(離均平方*機率之和)與標準差
Var(X)：E(X平方) - [E(X)]的平方
σ(X) = 根號( Var (X) )

性質

E(aX+b) = aE(X)+b

Var(aX+b) = a**2 Var(X)

σ(aX+b) = ｜a｜ σ(X)

二項分布

伯努利試驗(只有兩種結果的試驗)

每次試驗都互不影響(獨立)

每次成功的機率均相等

P(X=k) = C n取k p的k次方乘 (1-p)的n-k次方，P(X=k)表在n次試驗中成功k次的機率
P的總和=1，分布剛好是(p+(1-p))的n次方的二項展開式，所以稱這樣的機率分布是參數(n,P)的二項分布，以X~B(n,p)表示

二項分布的期望值E(X) = np

二項分布的變異數及標準差
Var(X) = np(1-p)；
σ(X) = 根號( Var(X) )

抽樣

統計推論：是真值？

因為普查整個母群體成本高，
因而改由母群體抽取一部分樣本(抽樣)進行統計，
根據其統計數值推論母群體的特性

亂數表抽樣

抽多少樣本才具代表性？

大數法則

誤差多少？

認識常態分布：68-95-99.7

中央極限定理：當樣本數n夠大時，成功比率經標準化後的機率分布會接近標準常態分布

95%的數據會落在距平均數2個標準差的區間內

抽樣樣本之隨機變數成功比率的
期望值E(Y)=p
標準差σ(Y) = 根號( p(1-p)/n )

解讀抽樣統計數據：
目標p-hat(0.?)：滿意度、支持度、知名度、接受度、安全度...
抽樣誤差：抽樣的統計標準差σ(一般希望小於3%)
信心水準(%)：對真正答案會落在我們抽樣結果區間的信心
信賴區間(0.0?)：p-hat加減信心水準所對應的誤差
特性1：p-hat越接近0.5，抽樣誤差越大，其信賴區間越長
特性2：依我們想要的抽樣誤差大小決定要抽樣的n

設計公平或自然界的P通常呈現常態分布(大數法則)

二項分布的實際應用：統計某隨機現象發生的成功機率(Y=X/n)，當n夠大時、其Y接近母群體的平均數機率就很大，隨機變數成功比率Y的機率質量函數會呈現常態分布