數學4~7章

向量

是數學、物理學和工程科學等多個自然科學中的基本概念

由於給定一向量 a ，則過任一點A都可作一向量AB，使得AB= a 。

在線性代數中，向量常採用更為抽象的向量空間（也稱為線性空間）來定義。向量是所謂向量空間中的基本構成元素。

在物理學和諸多工程學科中，許多常見的物理量都是用向量描述，如運動學中的位移、速度、加速度，力學中的力、力矩，電磁學中的電流密度、磁矩、電磁波等等。

物理學和一般的幾何學中涉及的向量概念嚴格意義上應當被稱為歐幾里得向量或幾何向量

有物理意義上的大小和方向的向量概念則需要引進了定義了範數和內積的歐幾里得空間。按照定義，歐幾里得向量由大小和方向構成。

當起點和終點改變後，構成的向量就不再是原來的向量。這樣的向量也被稱為固定向量。例子之一是運動學中常見的物理量位置向量。

表示方法

形式表示

帶箭頭字母

數學上的向量通常可用加向右箭頭的小寫字母表示

粗體字母

向量也可用粗體小寫字母表示，如{v} } {v} ，許多書本會採用此種記法，但缺點是區分粗體字有時不容易，例如 {{D} }D}和 {D} {D}肉眼看易混淆。

幾何表示

直觀上，向量通常被標示為一個帶箭頭的有向線段。線段的長度表示向量的大小（或稱模長），向量的方向即箭頭所指的方向

使用符號的形式實際上只是對向量規定的一個概念化代號

優點是簡潔明了

缺點是高度形式和抽象，既缺少幾何形象性又缺少定量精確性。

優點是具有強烈的幾何直觀形象性

缺點是在紙面上作圖繁瑣，不便定量分析。

代數表示

代數表示指在指定了一個坐標系之後，用一個向量在該坐標系下的坐標來表示該向量

兼具了符號的抽象性和幾何形象性，因而具有最高的實用性

特殊向量

反向量

零向量

單位向量

方向向量

向量的性質

有向線段

有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了始點與終點

大小

向量的大小（Magnitude）也稱模長、長度。幾何上，當確定了單位長度後作圖所得的向量的長度，即為向量的大小

夾角

向量的夾角（Included angle）是對於兩個向量而言的概念

式的運算

多項式

多項式（Polynomial）是代數學中的基礎概念

是由稱為未知數的變數和稱為係數的常數通過有限次加減法、乘法以及自然數冪次的乘方運算得到的代數表達式

多項式是整式的一種

多項式的加法

兩個多項式相加可以看作是對兩組單項式的和進行重組與合併同類項。通過加法結合律，可以將同類項放在一起，合併之後就得到了兩個多項式的和

多項式乘法

多項式的減法

計算兩個多項式相乘時，首先使用乘法對加法的分配律將各項拆出，然後運用乘法結合律整合每一項，最後和加法一樣整合同類項，就能得到乘積多項式

多項式除法

和整數之間的帶餘除法類似，一元多項式之間也可以進行帶餘除法

多項式的相等

當兩多項式相等時，兩多項式的次數相等且同次向的係數也相等

當兩多項式相等時，任一實數帶入兩多項式所得到的質也是相等

餘、因式定理

餘式定理

除法原理

f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0

多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。

因式定理

設f(x)為一多項式，則 x-a 為f(x) 的因式 Û f(a)=0

一次因式檢驗定理的逆敘述不成立。

一元二次方程式

一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程式

因式分解法

一般化

一元二次方程式的求根公式在方程式的係數為有理數、實數、複數或是任意數體中適用。

圖像解法

計算機法

在使用計算機解一元二次方程式時，跟人手工計算相似

聯立方程式

解聯立方程式的方法

解聯立方程式的方法大致上有畫圖法、代入法、消去法（包括高斯消去法）、矩陣法（包括克萊姆法則）等。

聯立方程式（英語：simultaneous equations）又稱方程組（system of equations），是兩個或兩個以上含有多個未知數的方程式聯立得到的集。未知數的值稱為聯立方程式的根

畫圖法

加減消去法

代入消去法

矩陣法

畫圖法就是把兩條方程式畫在圖上，兩線的交點就是解了。

稱為克拉瑪公式，是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解

行列式

行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。

記法

矩陣{\displaystyle A}A的行列式記作{\displaystyle \det(A)}\det(A)。行列式經常使用豎直線記

二階行列式

三接行列式

行列式的展開

餘因式

又稱「餘子式」、「餘因子」

代數餘子式

行列式關於行和列的展開

一個n階的行列式M可以寫成一行（或一列）的元素與對應的代數餘子式的乘積之和，叫作行列式按一行（或一列）的展開

複數

為實數的延伸，它使任一多項式方程式都有根。複數當中有個「虛數單位

複數的發現源於三次方程式的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數體為複數，如複矩陣、複變函數

定義

符號表示

等量關係

複數中的虛數是無法比較大小的，即兩個虛數只有相等和不等兩種等量關係。

運算

通過形式上應用代數的結合律、交換律和分配律，再加上等式{\displaystyle i^{2}=-1}i^{2}=-1，定義複數的加法、減法、乘法和除法:

複數體

複數可定義為實數{\displaystyle a,b}a, b組成的有序對

一些特性

矩陣表達式

這是個實用價值不大，但具數學意義的表達式，是將複數看作能旋轉及縮放二維位置矢量的2×2實數矩陣

實向量空間

可以視作二維實綫性空間。[1]不同於實數體，複數體上不可能有與其算術相容的全序：{\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb {C} 並非有序體。

代數特徵

複數體唯一（就體同構來說）的體擁有三項代數特徵:

它的特徵值是0

它對質數體的超越度是實數的基數

它是代數閉的

不可排序

不可能建立與其加法及乘法相容之全序關係

複指數冪

應用

反常積分

量子力學

信號分析

相對論

系統分析

應用數學

碎形

流體力學

等向量