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SUCCESSIONE (Quindi, se an è il termine n-esimo di una progressione…
SUCCESSIONE
Quindi, se an è il termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione d :
an =an-1 +d o an =an+1 –d.
Una successione numerica si dice progressione aritmetica quando la differenza fra ogni termine e il suo precedente è costante;
tale differenza si dice ragione.
n una progressione aritmetica, il termine an è uguale alla somma del primo termine a1 con il prodotto della ragione d per (n – 1) :
an =a1 +(n–1)d,con n>0.
Nei primi n termini di una progressione aritmetica, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante e uguale alla somma dei termini estremi.
La somma Sn dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto di n per la semisomma dei due termini estremi
a1 e an .
Quindi, se an è il termine n-esimo di una progressione geometrica di ragione q :
an =q an-1 , an=an+1/q.
Una successione numerica si dice progressione geometrica quando il quoziente fra ogni termine e il suo precedente è costante;
tale rapporto si dice ragione.
Se q > 0 , i termini sono tutti o positivi o negativi;
se q<0,iterminihannosegno alternato.
In una progressione geometrica, il termine an è uguale alla prodotto del primo termine a1 per la potenza della ragione q con esponente (n – 1)
Nei primi n termini di una progressione geometrica, il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è costante e uguale al prodotto dei termini estremi
La somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q diversa da 1 è a1 per q alla n -1 fratto q-1
Una successione numerica a è una funzione che associa a ogni numero naturale n un numero reale an: a:n∈N→an
n (indice della successione) = variabile indipendente
an (termine della successione) = variabile dipendente
Una successione è dunque costituita da un insieme di numeri ordinato e infinito
La successione costituita da tutti i numeri naturali pari è una funzione a che associa a ogni numero naturale un numero pari
Vediamo alcune rappresentazioni.
Rappresentazione mediante funzione
E’ il modo più comune per rappresentare una successione numerica. Consiste nello scrivere esplicitamente la relazione che lega l’indice n (variabile indipendente) e il termine an (variabile dipendente).
an =2n+1 n∈N
Rappresentazione ricorsiva o per ricorsione
Consiste nel fornire il primo termine della successione a0 e una relazione che lega il termine generale an a quello precedente an-1
Rappresentazione per enumerazione
Questa rappresentazione è efficiente solo se è facile, leggendo
i primi termini, dedurne quali sono gli altri.
La seguente lista di termini:
5, 10, 15, 20, 25, ....