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Market risk: Other related Topics (Volatility Smiles: option的implied…
Market risk: Other related Topics
Volatility Smiles: option的implied volatility同strike price
foreign currency market: 中間但 (at the money)， 2邊高(in & out of the money)
左邊= ITM call & OTM put, S大過K 右邊= OTM call & ITM put, S細過K
Implied distribution: 接微笑曲線來的資產價格的分佈
較lognormal 肥尾, 行權概率更高&implied volatility更高(option價格更高)
用smile的原因: 不滿足以下2個條件不能用lognormal distribution ( volatility是常數 & 資產價格沒有jumps)，但現實不符合
equity market: strike price上升會令implied volatility下跌--> Volatility Skew / Smirk (smile往下走，左邊ITM call & OTM put (行權價低)，右邊OTM call & ITM put(行權價高)
implied distribution 比lognormal 左邊肥尾，右邊瘦尾
原因: 股票價格同volatility是負相關
Volatility feedback: volatility上升，投資者要的回報率增加，折現率會增加，Stock price 下降，Leverage effect
S低 -> K低 -> V高 ，所以當S下跌令Equity下跌但L不變時 Leverage上升 --> Volatility 增加
對於European 的 call & put 的implied volatility是一樣，對American option 的結果都差不多，只不過不是一樣
Volatility smile的畫法
x轉做 K/S0，at the money會變做1 問題: K是future price，S0是現在
x變做 K/ F0 --> at the money
x= strike price，y= implied volatility 缺點: 曲線最低點會隨著資產價格而變
x 是 option delta，at the money 是 0.5 (call) / -0.5(put)
Volatility term structure
x= time to maturity，y= implied volatility
短期期權的波動率是歷史低位，implied volatility是increasing function
Volatility Surface: 包含時間，行權價 和 implied volatility之間的關係 時間短是大笑，時間長微微笑(less pronounce)
Impact of price jump
真實市場有large jump，會有2個lognormal 的混合體 (因為升同跌都會有概率)
當volatility 下跌，會有frown，向右往下
Minimum variance delta: 考慮了股票價格&implied volatility關係的delta 平常算delta會假設implied volatility是不變
當股票價格上升，K/S0下跌，V會上升 --> 期權上升
股票價格同volatility是負相關: 所以equity升，整個volatility skew是向下(整個市場向下)
負相關為主導Effect, equity 升--> implied volatility跌
Empirical Approaches to Risk Metric and Hedges
Two-Variable regression-based hedging: 2個對沖工具，公式同single variable一樣，逐個代數
DV01-neutral hedge: offset令entire position 等於 0
缺點: 只有在2者收益率相同下才能確保有效 解決:用2者收益率的歷史data做回歸分析
F x DV01F /100 = 面值 x DV01/100
Single-Variable regression-based hedging: 對沖工具只有一個，用回歸分析通過歷史數據算平均yield change
Hedge coefficient (β): 對沖工具和對沖組合的平均yield change 的比率
F x DV01F /100 = 面值 x DV01/100 x β
解決了DV01的缺點，但是回歸出來了beta不一定是常數 解決: 只能提前決定β穩不穩定 (分成幾段各自做回歸)
Level regression (直接用yield做回歸) vs change regression( 用yield change做回歸) 2個的結果不會差太遠
