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GMSD V10-V13Rotordynamik (Ausgleich von Unwuchten (Auswuchtmaschine mit…

- - - - Für die Teilresultierenden gilt
        \( \vec U_I=\vec U_{I\eta}+\vec U_{I\xi} \) und \( \vec U_{II}=\vec U _{II\eta}+\vec U_{II\xi} \).
        Dementsprechend folgt auch
        \( U_R=U_{I\eta}+U_{II\eta} \) und \( U_{I\xi}+U_{II\xi}=0 \)
      - Für das Unwuchtmoment \( V \) gilt:
        \( V_\eta=-U_{I\xi}f+U_{II\xi}(l-f) \)
        \( \quad\ =-(U_{I\xi}+U_{II\xi})f+U_{II\xi}l \)
        \( \quad\ =U_{II\xi}l=-U_{I\xi}l \)
        \( V_\xi=U_{I\eta}f-U_{II\eta}(l-f) \)
        \( \implies V=\sqrt{V_\eta^2+V_\xi^2} \) und \( \tan \beta=|\vec V_\xi|/|\vec V_\eta| \)
        \( \vec U_{IV}=-\vec U_{IIV} \implies |\vec U_{IV}|=|\vec U_{IIV}|=V/l \)
- - - - Das Messsignal \( E_M^* \) kann dabei als Fourier-Reihe angenähert werden:
        \( E_M^*(t)=E_M^*(t+T)\\ =a_1 \cos \Omega t+a_2\cos 2\Omega t + \dots\\ +b_1 \sin \Omega t +b_2\sin 2\Omega t+\dots \)
        
        \( \implies E_p=E_M^*(t)\cdot E_B(t) \)
        \( =(a_1 \cos \Omega t+a_2\cos 2\Omega t + \dots) \sin\Omega t\\ +(b_1 \sin \Omega t +b_2\sin 2\Omega t+\dots) \sin \Omega t \)
        
        Mit den Additionstheoremen
        \( \sin((n+1)\Omega t)=\sin n\Omega t \cdot \cos \Omega t + \cos n\Omega t\cdot\sin\Omega t \)
        \( \sin((n-1)\Omega t)=\sin n\Omega t \cdot \cos \Omega t - \cos n\Omega t\cdot\sin\Omega t \)
        Kann man umstellen z.B. zu
        \( \cos n\Omega t\cdot\sin\Omega t=\frac 12 [\sin((n+1)\Omega t)-\sin((n-1)\Omega t)] \)
        
        Für den ersten Term von \( E_p \) kann man mit den Additionstheoremen die Summen auseinander ziehen zu
        \(\require{cancel} a_1 \cos 1\Omega t\sin\Omega t=\frac 12 a_1 (\sin 2\Omega t-\cancelto{0}{\sin 0 \Omega t}) \)
        \( a_2 \cos 2\Omega t \sin\Omega t=\frac 12 a_2 (\sin 3\Omega t-\sin \Omega t) \)
        \( a_i\cos i\Omega t \sin \Omega t=\frac 12 a_i[\sin(i+1)\Omega t-\sin(i-1)\Omega t] \)
        
        So ergibt sich für das Integral von \( E_p \) über eine Schwingungsperiode \( \frac 1T \int_{t=0}^T E_{p,\sin}\,dt =\frac{b_1}{2} \)
        
        Dies kann analog auch mit einem leicht umgestellten Additionstheorem für den zweiten Term von \( E_p \) geschehen.
        \( b_i\sin i\Omega t\sin\Omega t=\frac 12 b_i[\cos(i-1)\Omega t-\cos(i+1)\Omega t] \)
      - Die Bezugsspannung \( E_B \) hat dabei sin- oder Kosinusform, je nach dem.
        Als Beispiel wird hier Sinus verwendet
        \( E_B(t)=E_B(t+T)=\sin \Omega t \)
        
        Benutzt man cos als Bezugsspannung kann man mit wiederum leicht umgestellten Additionstheoremen die Terme von \( E_p \) auseinanderziehen. Sie kürzen sich ähnlihc wie für sin gegenseitig raus und man erhält schließlich \( \frac 1T \int_{t=0}^T E_{p,\cos}\,dt =\frac{a_1}{2}\)
  - - - Generell ist für einen Rotor mit den Ausgleichsebenen innerhalb der Lager \( (l>b) \) die Unwuchtkraft kritischer.
        Es gilt \( U_{zul}=U_R=e_{zul}m \) bzw.
        \( U_{zul,I}=U_{zul}\frac{b_2}{b} \) und \( U_{zul,II}=U_{zul} \frac{b_1}{b} \)
      - Für einen Rotor mit außerhalb der Lager liegenden Ausgleichsebenen \( (l< b) \) ist das Unwuchtmoment kritischer.
        Damit ist \( V_{zul}=U_{zul}\frac l2 \) und daraus folgt \( U_{zul,I}=U_{zul,II}=\frac{V_{zul}}{b} \)
- - - - Die Welle ist durch den Schlag \( a \) vorgekrümmt zu \( w_0=a\cos\Omega t \). Rotiert die Welle wird sich der Durchstoßunkt \( W_0 \) in Richtung \( W \) verschieben.
        Dabei ist \( \overline{0W_0} \) um \( \varphi=\Omega t \) von der z-Achse gedreht, \( \overline{W_0W} \) ist nochmal weiter gedreht.
        Für das Kräfte-Ggw ergibt sich damit \( m\ddot w=-c(w-w_0) \). Dies gilt äquivalent auch für v. Daraus folgt
        \( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot w\\ \ddot v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\omega_0^2&0\\ 0&\omega_0^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w\\ v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ca/m\cdot\cos\Omega t \\ ca/m\cdot\sin\Omega t\end{pmatrix} \)
        
        Die homogene Lösung ist die selbe wie bei der Unwucht.
        
        Die partikuläre Lösung ergibt sich durch den Ansatz in Form der Erregung mit Anregung, wie auch schon bei der Unwucht: \( w_p(t)=\hat w_p \cos(\Omega t-\psi_p) \).
        Durch Differenzieren und Einsetzen erhält man die Amplituden \( \hat w_p=\hat v_p=\left| a\frac{1}{1-\eta^2}\right| \).
        Die Antwort hat also Kreisform mit dem Radius \( r_p=\hat w_p=\hat v_p \)
      - Der Amplitudenfrequenzgang \( V \) ergibt sich aus dem Verhältnis der Amplituden von Antwort zu Erregung: \( V(\eta)=\frac{|\hat w_p|}{a}=\left|\frac{1}{1-\eta^2}\right| \).
        \( V \) startet bei \( (0,1) \), wächst für \( \eta=1 \) ins unendliche und nimmmt mit überkritischen Drehzahlen in Richtung \( V=0 \) hin ab.
      - Der Phasenfrequenzgang ist genau wie bei der Unwuchterregung.
    - - Über das Kräfte-Ggw \( m\ddot w_s=-cw \) und die Kinematik \( w_s=w+\varepsilon \cos\varphi \) ergibt sich die DGL \( m\ddot w+cw= m(\varepsilon\dot\varphi^2\cos\varphi +\varepsilon\ddot\varphi\sin\varphi) \).
        Dies gilt genauso in y-Richtung (v).
        Aufpassen muss man hierbei, da obwohl die Rückstellende Kraft an W angreift man das Gleichgewicht immer nur für den Schwerpunkt aufstellen kann! Deshalb muss die Kinematik-Substitution durchgeführt werden.
        Für den stationären Betrieb gilt \( \ddot\varphi=0,\ \dot\varphi=\Omega,\ \varphi=\Omega t \) und damit folgt
        \( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot w\\ \ddot v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\omega_0^2&0\\ 0&\omega_0^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w\\ v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\varepsilon\Omega^2\cos\Omega t \\ \varepsilon\Omega^2\sin\Omega t\end{pmatrix} \)
        
        Als homogene Lösung ergibt sich die Schwingung des Rotors ohne Anregung, also wenn er stillsteht (Unwucht).
        Man erhält als hom. Lösung \( w_h(t)=w_0\cos(\omega_0t+\psi_{hw}) \) bzw. \( w_h(t)=v_0\sin(\omega_0t+\psi_{hv}) \).
        Dies stellt eine ellipsenförmige Schwingung um den Nullpunkt dar, welche von der initialen Auslenkung abhängig ist.
        
        Für die partikuläre Lösung wählt man einen Ansatz in Form der Erregung mit Systemantwort: \( w_p(t)=\hat w_p\cos(\Omega t-\psi_p) \) bzw. \( v_p(t)=\hat v_p\sin(\Omega t-\psi_p) \).
        Mit Differenzieren und Einsetzen erhält man die Amplituden \( \hat w_p=\hat v_p=\left|\varepsilon\frac{\Omega^2}{\omega_0^2-\Omega^2}\right| \).
        Dies stellt eine Kreisförmige Antwort auf die Erregung dar mit dem Radius \( r_p=\hat w_p=\hat v_p \).
      - Der Amplitudenfrequenzgang \( V_2 \) ergibt sich aus dem Verhältnis der Amplituden von Systemantwort zu Erregung: \( V_2(\eta)=\frac{|\hat w_p|}{\varepsilon}=\left|\frac{\eta}{1-\eta^2}\right| \).
        \( V_2 \) startet bei \( (0,0) \), wächst für \( \eta=1 \) ins unendliche und nimmt mit überkritischen Drehzahl in Richtung \( V_2=1 \) ab.
      - Der Phasenfrequenzgang \( \psi(\eta) \) bleibt konstant bei 0 für \( \eta\lt 1 \) und macht dann einen Sprung auf \( \pi \) für \( \eta\gt 1 \) .
        Für \( \eta=1 \) ist \( \psi=\pi/2 \)
    - - Kombiniert man Unwucht und Schlag kann man die beiden Erregungen einfach addieren, allerdings muss der Phasenunterschied \( \kappa \) für eine der Anregungen eingeführt werden:
        \( m\ddot w+cw=m\varepsilon\Omega^2\cos(\Omega t+\kappa)+ca\cos\Omega t \)
        Als Systemantwort ergibt sich \( w(t)=\varepsilon V_2\cos(\Omega t+\kappa)+aV\cos\Omega t \)
  - - - Homogene Lösung
        Für die Bewegungs-DGL mit Dämpfung ergibt sich
        \( m\ddot w+k_a\dot w+cw=0 \) (analog v)
        Im Komplexen \( \ddot r+2\delta_a\dot r+\omega_0^2 r=0 \)
        Und man erhält die homogene Lösung \( r_h(t)=K_1\,e^{\lambda_1 t}+K_2\,e^{\lambda_2 t} \)
      - Partikuläre Lösung bei Unwucht
        Die DGL \( \ddot r+2\delta\dot r+\omega_0^2 r=\varepsilon\Omega^2\,e^{j\Omega t} \) lässt sich mit dem Ansatz in Form der Anregung \( r_\varepsilon(t)=\hat r_\varepsilon\,e^{j(\Omega t-\psi)} \) lösen zu \( \hat r_\varepsilon(\omega_0^2-\Omega^2+j\cdot 2\delta\Omega)=\varepsilon\Omega^2 \)
        
        Aus dieser Lösung lässt sich die Amplitude \( \hat r_\varepsilon \) durch Umstellen und Einsetzen von \( \eta,\,\vartheta \) bestimmen.
        Um den imaginären Anteil im Nenner zu eliminieren erweitert man mit dem konjugiert komplexen Nenner.
        Für den Amplitudenfrequenzgang \( V_2 \) gilt nun \( V_2(\eta)=\frac{|\hat r_\varepsilon|}{\varepsilon} \) mit \( |\hat r\varepsilon|=\sqrt{\Re_{r_\varepsilon}^2+\Im_{r_\varepsilon}^2} \)
    - - Homogene Lösung
        Für die Bewegung-DGL mit innerer Dämpfung ergibt sich \( \ddot\rho+(2j\Omega+2\delta_i)\dot\rho+(\omega_0^2-\Omega^2)\rho=0 \).
        Mit dem Ansatz \( \rho_h(t)=\hat\rho_h\,e^{\lambda^* t} \) ergibt sich die charakteristische Gleichung \( \lambda^{*2}+(2j\Omega+2\delta_i)\lambda^*+(\omega_0^2-\Omega^2)=0 \)
        und daraus genähert die beiden Eigenwerte \( \lambda_{1/2}^*=-\delta_i\pm\delta_i\frac{\Omega}{\omega_0} \mp j(\omega_0-\Omega) \)
        
        Die homogene Lösung ergibt sich dann mit Superposition: \( \rho_h(t)=\hat\rho_{h_1}e^{\lambda_1^* t}+\hat\rho_{h_2}e^{\lambda_2^* t} \)
        Am ersten Eigenwert sieht man, dass dort ein positiver Realteil möglich ist, damit kann die Dämpfung instabil/anfachend sein. Für Stabilität muss \( \Omega\lt\omega_0 \) gelten.