Eigenschaften
Fliehkraft
Die Fliehkraft →F resultiert aus der Unwuchtmasse u, dem Radiusvektor \vec r und der Winkelgeschw. \Omega=const. :
\vec F=u\vec r\Omega^2
Für die Unwucht gilt \vec U =u\vec r
Exzentrizität
Der Schwerpunkt \( S \) eines 2-dimensionalen Rotors wird durch die Unwucht aus der Mitte um \( \vec e \) verschoben. Für das Momentengleichgewicht um \( S \) gilt somit \( e\cdot mg=(r-e)\cdot ug \) und mit \( u\ll m \) folgt somit \( e\approx\frac um r \). Diese Länge wird als Exzentrizität bezeichnet.
Starre Rotoren
Wird ein Rotor mit weniger als \( \frac 13 \omega_0 \) angetrieben so kann er als starr angesehen werden.
Unwuchtdarstellung
Für einen starren Rotor kann die Unwucht \( \vec U_i \) in die Teilresultierenden \( \vec U_{iI} \) und \( \vec U_{iII} \) aufgeteilt werden, welche in der zur Rotationsachse rechtwinkligen Ebene I bzw. II liegen.
Über das Momentengleichgewicht um einen Ebenenpunkt erhält man die Unwucht in der jeweils anderen Ebene.
Bei mehreren Unwuchten \( \vec U_i \) können die jeweiligen \( \vec U_{i I/II} \) berechnet werden. Trägt man diese Unwuchten nun im Unwuchtkreuz auf, summieren sich die Vektoren einfach und man erhält die Resultierende \( \vec U_{I/II} \)
Statt der Darstellung der Teilresultierenden im Unwuchtkreuz kann auch die Unwuchtresultierende \( U_R \) und das Unwuchtmoment \( V_R \) gebildet werden.
Dazu wird ein neues \( \eta,\xi \)-Koordinatensystem eingeführt, wobei die \( \eta \)-Achse in Richtung von \( \vec U_R \) liegt.
\( \vec U_R = \sum \vec U_i \)
Für die Teilresultierenden gilt
\( \vec U_I=\vec U_{I\eta}+\vec U_{I\xi} \) und \( \vec U_{II}=\vec U _{II\eta}+\vec U_{II\xi} \).
Dementsprechend folgt auch
\( U_R=U_{I\eta}+U_{II\eta} \) und \( U_{I\xi}+U_{II\xi}=0 \)
Für das Unwuchtmoment \( V \) gilt:
\( V_\eta=-U_{I\xi}f+U_{II\xi}(l-f) \)
\( \quad\ =-(U_{I\xi}+U_{II\xi})f+U_{II\xi}l \)
\( \quad\ =U_{II\xi}l=-U_{I\xi}l \)
\( V_\xi=U_{I\eta}f-U_{II\eta}(l-f) \)
\( \implies V=\sqrt{V_\eta^2+V_\xi^2} \) und \( \tan \beta=|\vec V_\xi|/|\vec V_\eta| \)
\( \vec U_{IV}=-\vec U_{IIV} \implies |\vec U_{IV}|=|\vec U_{IIV}|=V/l \)
Für die Fliehkraft gilt damit \( \vec F=\Omega^2 \vec U_R \)
und für das Unwuchtmoment folgt \( \vec M=\Omega^2 \vec V \)
Ausgleich von Unwuchten
Für den 2-dimensionalen Fall muss gelten \( \vec U+u_{ausgleich}\cdot\vec r_{ausgleich}=\vec 0 \)
\( \iff u_a=\frac{U}{r_a} \)
Durch statisches Auspendelen kann die Unwuchtresultierende eliminiert werden, das Unwuchtmoment lässt sich damit allerdings beseitigen.
Das Dynamische Auswuchten kann durch Kraftmessung oder durch Wegmessung in den Lagern geschehen.
Kraftmessendes Auswuchten
Die hart gelagerte Maschine wird bei geringen Drehzahlen betrieben, so dass die Drehzahl weit unterkritisch ist \( \eta \ll 1 \).
Dadurch entfällt der Einfluss der Dämpfung der Maschine weitestgehend, man erhält \( c \hat x\approx (ur)\Omega^2 \iff U\approx \frac{c\hat x}{\Omega^2} \)
Wegmessendes Auswuchten
Die Maschine ist weich gelagert und misst überkritisch \( \eta \gg 1 \).
Man erhält \( \hat x \approx \frac 1m (ur) \iff U\approx m\hat x \).
Diese Methode ist gut zur Serienfertigung geeignet, muss allerdings mit Referenzunwuchten kalibriert werden.
\( U_R \) ist auf der Drehachse beliebig verschiebbar, aber der Betrag und die Richtung von \( V \) sind positionsabhängig. Durch geeignete Verschiebung kann \( V \) also minimiert werden.
Momentenverläufe am dünnen Rotor
Wattmeter-Verfahren
Das verrauschte Messignal \( E_M^* \) mit Amplitudenlänge \( T \) wird mit einer sinus- und kosinusförmigen Bezugsspannung \( E_B \) mit gleicher Amplitudenlänge multipliziert \( E_p \).
Dann ist das Integral dieser Multiplikation ein Maß für die Unwuchtkomponente.
Das Messsignal \( E_M^* \) kann dabei als Fourier-Reihe angenähert werden:
\( E_M^*(t)=E_M^*(t+T)\\
=a_1 \cos \Omega t+a_2\cos 2\Omega t + \dots\\
+b_1 \sin \Omega t +b_2\sin 2\Omega t+\dots \)
Die Bezugsspannung \( E_B \) hat dabei sin- oder Kosinusform, je nach dem.
Als Beispiel wird hier Sinus verwendet
\( E_B(t)=E_B(t+T)=\sin \Omega t \)
\( \implies E_p=E_M^*(t)\cdot E_B(t) \)
\( =(a_1 \cos \Omega t+a_2\cos 2\Omega t + \dots) \sin\Omega t\\
+(b_1 \sin \Omega t +b_2\sin 2\Omega t+\dots) \sin \Omega t \)
Mit den Additionstheoremen
\( \sin((n+1)\Omega t)=\sin n\Omega t \cdot \cos \Omega t + \cos n\Omega t\cdot\sin\Omega t \)
\( \sin((n-1)\Omega t)=\sin n\Omega t \cdot \cos \Omega t - \cos n\Omega t\cdot\sin\Omega t \)
Kann man umstellen z.B. zu
\( \cos n\Omega t\cdot\sin\Omega t=\frac 12 [\sin((n+1)\Omega t)-\sin((n-1)\Omega t)] \)
Für den ersten Term von \( E_p \) kann man mit den Additionstheoremen die Summen auseinander ziehen zu
\(\require{cancel} a_1 \cos 1\Omega t\sin\Omega t=\frac 12 a_1 (\sin 2\Omega t-\cancelto{0}{\sin 0 \Omega t}) \)
\( a_2 \cos 2\Omega t \sin\Omega t=\frac 12 a_2 (\sin 3\Omega t-\sin \Omega t) \)
\( a_i\cos i\Omega t \sin \Omega t=\frac 12 a_i[\sin(i+1)\Omega t-\sin(i-1)\Omega t] \)
So ergibt sich für das Integral von \( E_p \) über eine Schwingungsperiode \( \frac 1T \int_{t=0}^T E_{p,\sin}\,dt =\frac{b_1}{2} \)
Dies kann analog auch mit einem leicht umgestellten Additionstheorem für den zweiten Term von \( E_p \) geschehen.
\( b_i\sin i\Omega t\sin\Omega t=\frac 12 b_i[\cos(i-1)\Omega t-\cos(i+1)\Omega t] \)
Benutzt man cos als Bezugsspannung kann man mit wiederum leicht umgestellten Additionstheoremen die Terme von \( E_p \) auseinanderziehen. Sie kürzen sich ähnlihc wie für sin gegenseitig raus und man erhält schließlich \( \frac 1T \int_{t=0}^T E_{p,\cos}\,dt =\frac{a_1}{2}\)
Darstellung in Polarkoordinaten
Das Integral von \( E_{p,cos} \) wird als \( \vec U_x \) auf der x-Achse aufgetragen, ebenso wird das Integral von \( E_{p,sin} \) als \( \vec U_y \) auf der y-Achse aufgetragen.
Die beiden Vektoren addieren sich zu \( \vec U \) mit dem Winkel \( \varphi \)
Auswuchtmaschine mit zwei Ausgleichsebenen
Da die Bezugsebenen I und II nicht unbedingt in den Lagern der Maschine liegen, in denen die Kräfte bzw. Wege gemessen werden muss eine Momentenäquivalenz durchgeführt werden.
Mechanischer Rahmen
Der Kraft- bzw. Wegmesser in Lager 1 wird durch einen festen Drehpunkt in Bezugsebene I ersetzt. Damit kann die Momentenäquivalenz leichter durchgeführt werden.
Veraltetes Verfahren.
Elektrischer Rahmen
Die Kraft- bzw. Wegmesser können so mit Potentiometern verschaltet und kalibriert werden, dass die Anzeige für Ebene I auch nur Unwuchten für diese Ebene anzeigt.
Auswuchtgüte
Die Auswuchtgüte \( G= e\Omega =const. \) gibt an wie groß die zulässige Exzentrizität \( e_{zul} \) für eine gegebene Betriebsdrehzahl \( \Omega \) sein darf.
Damit folgt \( U_{zul}=e_{zul}m \)
Sie ist dazu da um die Lagerkräfte im zulässigen Bereich zu halten.
\( G=[kg\ mm] \)
Nach DIN ISO 1940 benennt z.B. eine Gütestufe G16 eine maximale Exzentrizität von 16mm bei 1/s Umdrehungen, oder 0.004mm bei 4000/s Umdrehungen.
Bei zwei Ausgleichsebenen muss beachtet werden, ob die Unwuchtkraft oder das Unwuchtmoment kritischer ist.
Generell ist für einen Rotor mit den Ausgleichsebenen innerhalb der Lager \( (l>b) \) die Unwuchtkraft kritischer.
Es gilt \( U_{zul}=U_R=e_{zul}m \) bzw.
\( U_{zul,I}=U_{zul}\frac{b_2}{b} \) und \( U_{zul,II}=U_{zul} \frac{b_1}{b} \)
Für einen Rotor mit außerhalb der Lager liegenden Ausgleichsebenen \( (l< b) \) ist das Unwuchtmoment kritischer.
Damit ist \( V_{zul}=U_{zul}\frac l2 \) und daraus folgt \( U_{zul,I}=U_{zul,II}=\frac{V_{zul}}{b} \)
Ist ein dünner Rotor vollständig ausgewuchtet, ergeben die einzelnen Unwuchten noch einen Unwuchtmomentenverlauf welcher zu einer Biegung des Rotors führen kann.
Bei höheren Drehzahlen biegt sich so der Rotor durch, je nach Weichheit der Lagerung und Menge der Unwuchten ergeben sich damit sinusförmige Schwingungsformen mit verschieden vielen Knoten
Lavalläufer
Anregung
Es wird ein Ortsfestes KS mit den Achsen \( z,w \)(unten) und \( y,v \)(rechts) eingeführt.
Dabei ist:
- Der neutrale Punkt \( 0 \) auf der Achse zwischen den beiden Lagerpunkten,
- Der Schwerpunkt der Welle \( S \),
- Der Wellendurchstoßpunkt \( W \),
- Die Schwerpunktsexzentrizität \( \varepsilon \) als Distanz zwischen \( W \) und \( S \),
- Der Schlag \( a \) als Distanz zwischen \( 0 \) und \( W_0 \)
- Der Drehwinkel \( \varphi=\Omega t \) zwischen z-Achse und \( \overline{WS} \)
Schlag
Drehzahlabhängigkeit
Beide Anregungsarten besitzen eine Selbstzentrierung bei überkritischen Drehzahlen.
Komplexe Darstellung
Dämpfung
Ein Lavalläufer ist ein starr gelagerter Rotor der Masse \( m \) auf einer masselosen Welle mit Steifigkeit \( c \)
Unwucht
Über das Kräfte-Ggw \( m\ddot w_s=-cw \) und die Kinematik \( w_s=w+\varepsilon \cos\varphi \) ergibt sich die DGL \( m\ddot w+cw= m(\varepsilon\dot\varphi^2\cos\varphi +\varepsilon\ddot\varphi\sin\varphi) \).
Dies gilt genauso in y-Richtung (v).
Aufpassen muss man hierbei, da obwohl die Rückstellende Kraft an W angreift man das Gleichgewicht immer nur für den Schwerpunkt aufstellen kann! Deshalb muss die Kinematik-Substitution durchgeführt werden.
Für den stationären Betrieb gilt \( \ddot\varphi=0,\ \dot\varphi=\Omega,\ \varphi=\Omega t \) und damit folgt
\( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot w\\ \ddot v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\omega_0^2&0\\ 0&\omega_0^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w\\ v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\varepsilon\Omega^2\cos\Omega t \\ \varepsilon\Omega^2\sin\Omega t\end{pmatrix} \)
Als homogene Lösung ergibt sich die Schwingung des Rotors ohne Anregung, also wenn er stillsteht (Unwucht).
Man erhält als hom. Lösung \( w_h(t)=w_0\cos(\omega_0t+\psi_{hw}) \) bzw. \( w_h(t)=v_0\sin(\omega_0t+\psi_{hv}) \).
Dies stellt eine ellipsenförmige Schwingung um den Nullpunkt dar, welche von der initialen Auslenkung abhängig ist.
Für die partikuläre Lösung wählt man einen Ansatz in Form der Erregung mit Systemantwort: \( w_p(t)=\hat w_p\cos(\Omega t-\psi_p) \) bzw. \( v_p(t)=\hat v_p\sin(\Omega t-\psi_p) \).
Mit Differenzieren und Einsetzen erhält man die Amplituden \( \hat w_p=\hat v_p=\left|\varepsilon\frac{\Omega^2}{\omega_0^2-\Omega^2}\right| \).
Dies stellt eine Kreisförmige Antwort auf die Erregung dar mit dem Radius \( r_p=\hat w_p=\hat v_p \).
Der Amplitudenfrequenzgang \( V_2 \) ergibt sich aus dem Verhältnis der Amplituden von Systemantwort zu Erregung: \( V_2(\eta)=\frac{|\hat w_p|}{\varepsilon}=\left|\frac{\eta}{1-\eta^2}\right| \).
\( V_2 \) startet bei \( (0,0) \), wächst für \( \eta=1 \) ins unendliche und nimmt mit überkritischen Drehzahl in Richtung \( V_2=1 \) ab.
Für die Unwuchterregung zeigt sich, dass im unterkritischen Bereich W um 0 kreist und S um \( \varepsilon \) gerade nach außen verlängert an W sitzt.
Bei der kritischen Drehzahl \( \Omega=\omega_0 \) wird der Kreis von W theoretisch unendlich groß, außerdem liegt S jetzt wegen dem Phasenfrequenzgang \( \psi=90° \) jetzt auf dem gleichen Kreis wie W.
Für überkritische Drehzahlen wird der Kreis von W wieder kleiner und der Phasenfrequenzgang \( \psi=180° \) lässt S nun innerhalb von W laufen. Bei genügend großen Drehzahlen geht S in den Urpsrung 0.
Der Phasenfrequenzgang \( \psi(\eta) \) bleibt konstant bei 0 für \( \eta\lt 1 \) und macht dann einen Sprung auf \( \pi \) für \( \eta\gt 1 \) .
Für \( \eta=1 \) ist \( \psi=\pi/2 \)
Die Welle ist durch den Schlag \( a \) vorgekrümmt zu \( w_0=a\cos\Omega t \). Rotiert die Welle wird sich der Durchstoßunkt \( W_0 \) in Richtung \( W \) verschieben.
Dabei ist \( \overline{0W_0} \) um \( \varphi=\Omega t \) von der z-Achse gedreht, \( \overline{W_0W} \) ist nochmal weiter gedreht.
Für das Kräfte-Ggw ergibt sich damit \( m\ddot w=-c(w-w_0) \). Dies gilt äquivalent auch für v. Daraus folgt
\( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\ddot w\\ \ddot v\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\omega_0^2&0\\ 0&\omega_0^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w\\ v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ca/m\cdot\cos\Omega t \\ ca/m\cdot\sin\Omega t\end{pmatrix} \)
Die homogene Lösung ist die selbe wie bei der Unwucht.
Die partikuläre Lösung ergibt sich durch den Ansatz in Form der Erregung mit Anregung, wie auch schon bei der Unwucht: \( w_p(t)=\hat w_p \cos(\Omega t-\psi_p) \).
Durch Differenzieren und Einsetzen erhält man die Amplituden \( \hat w_p=\hat v_p=\left| a\frac{1}{1-\eta^2}\right| \).
Die Antwort hat also Kreisform mit dem Radius \( r_p=\hat w_p=\hat v_p \)
Der Amplitudenfrequenzgang \( V \) ergibt sich aus dem Verhältnis der Amplituden von Antwort zu Erregung: \( V(\eta)=\frac{|\hat w_p|}{a}=\left|\frac{1}{1-\eta^2}\right| \).
\( V \) startet bei \( (0,1) \), wächst für \( \eta=1 \) ins unendliche und nimmmt mit überkritischen Drehzahlen in Richtung \( V=0 \) hin ab.
Der Phasenfrequenzgang ist genau wie bei der Unwuchterregung.
Für die Schlagerregung gilt bereits für sehr geringe Drehzahlen der Radius \( r=a \). Bis zur kritischen Drehzahl wächst dieser und damit der Schlag an.
Im Überkritischen Bereich wird der Radius wieder kleiner und gleicht den Schlag aus, bis der Rotor für hohe Drehzahlen wieder komplett Selbstzentriert läuft.
Kombination
Kombiniert man Unwucht und Schlag kann man die beiden Erregungen einfach addieren, allerdings muss der Phasenunterschied \( \kappa \) für eine der Anregungen eingeführt werden:
\( m\ddot w+cw=m\varepsilon\Omega^2\cos(\Omega t+\kappa)+ca\cos\Omega t \)
Als Systemantwort ergibt sich \( w(t)=\varepsilon V_2\cos(\Omega t+\kappa)+aV\cos\Omega t \)
Durch die komplexe Schreibweise in einem mitrotierenden KS kann die Rechnung vereinfacht werden.
Der Realteil auf der mitrotierenden \( \zeta \)-Achse entspricht der vorherigen \( z \)-Achse,
der Imaginärteil auf der \( \eta \)-Achse entspricht der vorherigen \( y \)-Achse.
\( \implies r=w+jv \)
Für die Unwucht gilt im raumfesten, komplexen:
\( \vec S = r_S=\underbrace{w+jv}_{r} + \varepsilon(\underbrace{\cos\Omega t+j\sin\Omega t}_{e^{j\Omega t}}) \)
Für den Schlag gilt im raumfesten, komplexen:
\( \vec W_0=r_0=a(\underbrace{\cos(\Omega t+\kappa)+j\sin(\Omega t+\kappa)}_{e^{j(\Omega t+\kappa)}}) \)
Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung in raumfester, komplexer Schreibweise
\( m\ddot r+cr=m\varepsilon\Omega^2 \,e^{j\Omega t}+ca\,e^{j(\Omega t+\kappa)} \)
\( \iff \ddot r+\omega_0^2 r=\varepsilon \Omega^2\, e^{j\Omega t}+\omega^2 a\,e^{j(\Omega t+\kappa)} \)
Ein beliebiger Punkt P kann im raumfesten KS als \( r=w+jv=l\,e^{j(\Omega t+\kappa)} \) dargestelt werden.
Rotiert das neue KS nun mit \( \Omega t \) mit ändert sich die Darstellung des Punkts P zu \( \rho=w_\zeta+jv_\eta=l\,e^{j\kappa} \).
Dabei ist \( l=\sqrt{w^2+v^2}=|r|=|\rho| \)
Das bedeutet, die Transformation in das raumfeste KS kann durch \( r=\rho\,e^{j\Omega t} \) beschrieben werden.
Differenziert man \( r \) und setzt dies in die raumfeste, komplexe Bewegungs-DGL ein erhält man
\( (\ddot\rho+2j\Omega\dot\rho+(\omega_0^2-\Omega^2)\rho)e^{j\Omega t}=(\varepsilon\Omega^2+a\omega_0^2e^\kappa)e^{j\Omega t} \)
\( \iff \ddot\rho +2j\Omega\dot\rho +(\omega_0^2-\Omega^2)\rho =\varepsilon\Omega^2 +a\omega_0^2 e^\kappa \)
Äußere Dämpfung
Schwingung des Rotos gegenüber der Umgebung ist gedämpft
- Dämpfend für \( \Omega =0 \)
- Dämpfungskräfte proportional zu den absoluten Geschwindigkeiten für \( \Omega\gt 0 \)
- Immer dämpfend
Innere Dämpfung
Dämpfung des Rotors gegenüber der Welle gedämpft
- Dämpfend für \( \Omega=0 \)
- Dämpfungskräfte proportional zu den Geschwindigkeiten im mitrotierenden \( \zeta \)-\( \eta \)-System für \( \Omega\gt 0 \)
- Unter Umständen anfachend
Homogene Lösung
Für die Bewegungs-DGL mit Dämpfung ergibt sich
\( m\ddot w+k_a\dot w+cw=0 \) (analog v)
Im Komplexen \( \ddot r+2\delta_a\dot r+\omega_0^2 r=0 \)
Und man erhält die homogene Lösung \( r_h(t)=K_1\,e^{\lambda_1 t}+K_2\,e^{\lambda_2 t} \)
Partikuläre Lösung bei Unwucht
Die DGL \( \ddot r+2\delta\dot r+\omega_0^2 r=\varepsilon\Omega^2\,e^{j\Omega t} \) lässt sich mit dem Ansatz in Form der Anregung \( r_\varepsilon(t)=\hat r_\varepsilon\,e^{j(\Omega t-\psi)} \) lösen zu \( \hat r_\varepsilon(\omega_0^2-\Omega^2+j\cdot 2\delta\Omega)=\varepsilon\Omega^2 \)
Aus dieser Lösung lässt sich die Amplitude \( \hat r_\varepsilon \) durch Umstellen und Einsetzen von \( \eta,\,\vartheta \) bestimmen.
Um den imaginären Anteil im Nenner zu eliminieren erweitert man mit dem konjugiert komplexen Nenner.
Für den Amplitudenfrequenzgang \( V_2 \) gilt nun \( V_2(\eta)=\frac{|\hat r_\varepsilon|}{\varepsilon} \) mit \( |\hat r\varepsilon|=\sqrt{\Re_{r_\varepsilon}^2+\Im_{r_\varepsilon}^2} \)
Homogene Lösung
Für die Bewegung-DGL mit innerer Dämpfung ergibt sich \( \ddot\rho+(2j\Omega+2\delta_i)\dot\rho+(\omega_0^2-\Omega^2)\rho=0 \).
Mit dem Ansatz \( \rho_h(t)=\hat\rho_h\,e^{\lambda^* t} \) ergibt sich die charakteristische Gleichung \( \lambda^{*2}+(2j\Omega+2\delta_i)\lambda^*+(\omega_0^2-\Omega^2)=0 \)
und daraus genähert die beiden Eigenwerte \( \lambda_{1/2}^*=-\delta_i\pm\delta_i\frac{\Omega}{\omega_0} \mp j(\omega_0-\Omega) \)
Die homogene Lösung ergibt sich dann mit Superposition: \( \rho_h(t)=\hat\rho_{h_1}e^{\lambda_1^* t}+\hat\rho_{h_2}e^{\lambda_2^* t} \)
Am ersten Eigenwert sieht man, dass dort ein positiver Realteil möglich ist, damit kann die Dämpfung instabil/anfachend sein. Für Stabilität muss \( \Omega\lt\omega_0 \) gelten.