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Estimación de parámetros en modelos de regresión lineal (Mínimos…
Estimación de
parámetros
en modelos de
regresión lineal
Mínimos cuadrados
Para estimar coeficientes
de regresión de un modelo
de regresión lineal.
Elegir las \(\beta\) de
modo que la suma de
cuadrados de los errores
se minimice.
Función de mínimos cuadrados\(L = \sum_{i=1}^{n} \epsilon_{i}^{2} \)
La función L debe minimizarse
con respecto a \(\beta_0 , \beta_1,..., \beta_k\).
Existen \(p=k+1\) ecuaciones normales para cada uno de los coeficientes de regresión desconocidos.
La solución de las ecuaciones normales se da a través de \(y = x\beta + \epsilon\).
\(y\), vector \(nx1\) de las observaciones.
\(x\), matriz \(nxp\) de los niveles de las variables independientes.
\(\beta\), vector \(px1\) de los coeficientes de regresión.
\(\epsilon\), vector \(nx1\) de los errores aleatorios.
Ecuaciones
normales
En notación escalar, la diferenicia entre la desviación real \(y_i\) y el valor ajustado \(\hat{y}\) es el residual. Denotado por \(e = y_i - \hat{y}\).
Pruebas de hipótesis
en regresión lineal
múltiple
Requieren que los errores
\(\epsilon_i\) sigan una distribución normal e independiente con media cero y varianza \(\sigma^2\)
Prueba de significación
de regresión
Determina si existe
relación entre variable de
respuesta y los regresores.
\(H_0: \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_k = 0\)
\(H_1: \beta_j \not = 0\)
El rechazo de \(H_0\) implica que al menos uno de los regresores contribuye de forma significativa al modelo.
Prueba de
coeficientes
de regresión
individuales
y de grupos
Para determinar el valor
de cada uno de los
regresores del modelo.
Estadístico de prueba:
\(t_0 = \dfrac{\hat{\beta_j}}{\hat{\sigma^2}C_ij}\)
Método de suma de cuadrados extra
Examina la contribución de un variable en particular o un conjunto de ellas.