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Term structure models of interest rates (The Art of Term Structure Models:…
Term structure models of interest rates
The Science of Term Structure models
Binomial Interest Rate Tree Model: 往上 & 往下 (equal weight)
Backward induction valuation 從last period 推算出0時刻 用1/2 x [面值除(1+折現率/2) +面值除(1+折現率/2)]
Arbitrage-free valuation of derivatives
The law of one price
Arbitrage-free valuation: 同無套利機會一致的證券估值方法
Replicating portfolio: 可以用derivative 複制組合現金流
算option value: 先算F 0.5 & F 1 有2條公式 (上: F 0.5 + 上price 除面值 x F1 =0) , 下就下p, 再計D0.5 & D1: 1/(1+利率/2), D1分母要2次方, option value= D0.5 x F0.5 + D1 x D1
沒有用上下的probability
Risk-neutral pricing: 用Backward法算出來的expected discount value和 replication下算出來的D1不相等(因為discount value是無風險期望值), 所以用risk-netural pricing去修正利率算法
用Risk-neutral probability，算出來就可以正好等於market price (上價格 x p+ 下價格 x 1-p) 除 (1+利率/2) 半年 = 0時刻價值，算p
用true probabilities時，expected change 是零，但risk-neutral prob下，是有期望值(drift)
將行權option會得的收益 x 各自risk-neutral prob 再折現都可得出對的option value
算swap: 如果分0.5 & 1年，將(淨動rate-固定rate) 除2 乘本金得出既數再x prob，**先用1年算0.5(記得+番0.5哥年差價先折價得0時刻
Issues with Interest Rate models
Recombining tree (往上往下的前後次序不影響 次數一樣都是同等Value) vs non-recombining tree (state-dependent volatility)
non-recombining在經濟上較合理，但不可能計算 (20期間有50萬nodes)
recombine只有 n+1對
Option-adjusted spread OAS:在折現率上加上basis point (only, payment 的率不用加)
Appropriateness of BSM model: 出名用於stock options, 但bond options不適用
BSM 假設stock price是隨機，但bond price 一定不是 (會回歸面值)
BSM 假設price volatility是constant，但bond越接近到期日會變等小
BSM 假設short term interest rate是constant，但利率是決定bond price的重要因素(當利率是常數，bond price會是常數，沒用)
Size of time steps : 步長時期越小越接近真實，但計算量太大 小數點會都成為問題，長／短好沒結論，視情況
The Shape of the Term Structure 由3個因素決定
Volatility of short term rates
在risk-neutrality的假設下，backward推算的market price，再用year 2 折現2次到0時刻， 算出的折現率和原本不一樣，之間的差是波動率的存在 (凸度對spot rate的影響)
Convexity effect可以用Jensen's inequality的解釋
推算法價格＞先算利率期望值再算的格價=凸度向原點(向下) 2年的spot rate 會比 1年的 小
Convexity會令收益率曲線向下走 ，當期限越長，下拉的幅度大 (波動率越大)
Interest rate risk premium: Risk-averse投資者對於利率風險需要額外compensation
加basis point, 折現率增加，價格下跌，收益率上升
Risk premium會令收益率曲線向上走
短期下，risk premium 影響更大
長期下，convexity 影響更大
Expectations of future short-term rates: 假設沒有uncertain
rate decrease --> downward-sloping
rate stable --> flat term
預期rate increase --> upward-sloping
The Art of Term Structure Models: Drift
Model 1: no drift 唯一因素是波動率, 正態分佈
Formula: dr(利率年變化) = σ (年波動率) x dw (正態分佈隨機變量，N(0, √￣dt) ＝ σε√￣dt (dt= time interval 年化)
updated short-term rate= 原本+dr
interest rate tree
E(dr)=0
Std.(r) = σ√￣dt
往上加Std.，往下減
Problems & Limitation
有可能是Negative interest rate
把負利率設為 0
用lognormal 分佈 (取值一定大於0) 但會改變整個rate的範圍, 很大波動率
由於期望值不變(沒有drift)，因為有convexity所以term structure 一定是downward-sloping
波動率的term structure是constant，沒有考慮implied volatility (真實是humped形狀)
當interest rate改變，所有都會變化，變成parallel shift
沒有考慮drift & time-dependent volatility
Ho-Lee model: time-dependent drift: 時間不一樣，drift就不一樣
Formula: dr = (λt)dt + σdw = (λt)dt + σε√￣d 每期λ都不一樣
往上加 E(dr) + Std. ，往下加 E(dr) - Std 但λ要分λ1期，λ2期
Drift determination: Ho-Lee是無套利模型，找到基準securities倒推
Usage & Benefit
根據流動性好的價格，對流對動性不好的securities進行報價 (短期利率的預期變化，risk premium，neighboring swap rate & convexity都考慮了)
假設underlying securities是公允定價，對derivative估值做對沖 (因為在構建無套利模型時已經match了很多交易securities的價格)
問題
Matching 市場價格不一定沒有問題 (模型本身有問題，假設市價是fair 但其它因素都會影響價格 不是只有利率)
如果drift每年改變很大，一般是有問題 (找不到原因，但不合理)
如果模型是做relative value (潛台詞有些資產是被高估/低估)，不能認為security 價格沒有最題
Model 2: constant drift
Formula: dr = λdt + σdw = λdt + σε√￣d
interest rate tree
E(dr) = λdt
Std.(r) = σ√￣dt
往上加 E(dr) + Std. ，往下加 E(dr) - Std.
Limitation
改進了，但遺是不夠flexible (λ是正只能往上走，負是只能往下)
沒去改進volatility change， convexity & parallel-shift的問題
Vasicek model: mean-reverting drift: short-term rate是會均值復歸
公式. dr= k(θ-r) dt + σdw k是mean reversion的速度 θ是短期利率的長期均值 當θ-r 越大，就會向θ靠
interest rate tree
E(dr)= k(θ-r) dt
Std. = σ√￣dt
Problem & Solution
是non-combining (因為往上往下的drift不一樣)
Solution: 第一期不用改，第二期時用第一期的r + E(dr) 算出 Expected rate 再算出Std. ，擬2條公式( 各自概率x 各自r =期望值，標準差公式)，得出r & p 可以得出recombining tree, 概率不一樣
Half time: 可以表達完成一半的時間速度 因為k參數不是很直接(數字表達不了多快)
Formula: T= ln2 / k
Effectiveness
有均值回歸時，即使short-term rate有變化，都不會產生parallel shift (長期利率受影響會小，無論點變，short rate都會點歸long-term rate)
沒有均值回歸的模型，Std會隨著√￣t增加，但有均值回歸的會減少波動率(Std會增加得比較慢 凸度影響減少)
The Art of Term Structure Models: Volatility & Distribution
Time-dependent volatility: 隨時間而變化
Model 3: short rate 的波動率一開始是constant, 再逐步下降到0
一開始升rapidly 但之間變慢，長時期會變平
同mean reversion相似 (如果α同 mean reversion rate k是一樣, 那它們的波動率的分佈是一樣）
如果沒有均值回歸，Model 3是parallel shift
即使波動率隨時間變， Model 3的volatility 期限結構是平的
Model 3 和 Vasicek model的比較
quote fixed income option 價格，應該用Model 3
估值 & hedge fixed income securities, 用mean reversion (based on 經濟情況，與真實情況較相似)
Volatility as a function of the short rate: 利率本身的大小而決定波動率 (利率越高，波動率較話)
The Cox-Ingersoll-Ross model (CIR): dr= k(θ-r) dt + σdw √￣r σ是常數，basis point volatility=σ√￣r，rate越高，volatility越過
The Courtadon model: dr= k(θ-r) dt + σrdw 真接乘r
Lognormal model (Model 4): dr=αrdt + σrdw αrdt確保了模型符合lognormal
deterministic drift: d[ln(r)] = α(t) dt + σdw 利率變化率的變化
mean reversion: d[ln(r)] = k(t)[lnθ(t) - ln(r)] dt + σ(t)dw 利率的變化率服從Vasicek模型
三個模型下，當r＝0，basis point volatility =0 優點: drift一定是非負數
