Eigenverhalten V6
von linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
(Homogene Lösung)
Exakte Bestimmung
der Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen
Für ein System können die Kräfte in einer allgemein ausgelenkten Lage für jede Masse freigeschnitten eingezeichnet werden.
Pro Masse erhält man damit eine lineare DGL mit Absolutkoordinaten x1, x2, xi, …
Ersetzt man die Absolutkoordinaten mit Relativkoordinaten, z.B. xr=x2−x1, erhält man die DGLs nur noch in Abhängigkeit von x1, xr.
Das DGL-System kann auch in eine Matrizenschreibweise überführt werden mit
(m100m2)⏟M(¨x1¨x2)⏟¨x+(k1+k2−k2−k2k2)⏟K(˙x1˙x2)⏟˙x+(c1+c2−c2−c2c2)⏟C(x1x2)⏟x=(00)⏟0
Näherungsweise Bestimmung
der Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen
Dunkerley
Erlaubt die Abschätzung einer unteren Grenze der niedrigsten Eigenkreisfrequenz
Rayleigh
Erlaubt die Abschätzung einer oberen Grenze der EKF
Ab drei Freiheitsgraden wird die exakte analytische Berechnung zu aufwändig und ist nur noch numerisch möglich. Deshalb kann man die erste Eigenkreisfrequenz näherungsweise abschätzen.
Dabei gilt \( \omega_{1D}\lt\omega_1\leq\omega_{1R} \)
Der Standardansatz zur Lösung einer DGL 2. Ordnung ist
\( \underbrace{\begin{pmatrix}x_{h1}(t)\\x_{h2}(t)\end{pmatrix}}_{x_h(t)}
=\underbrace{\begin{pmatrix}K_1e^{\lambda t}\\K_2 e^{\lambda t}\end{pmatrix}}_{K e^{\lambda t}} \)
Diesen kann man zweimal differenzieren und in das DGL-System einsetzen.
Dividiert man durch \( e^{\lambda t} \) erhält man ein homogenes Gleichungssystem
\( \underbrace{\begin{pmatrix}m_1\lambda^2+(k_1+k_2)\lambda+c_1+c_2 & -k_2\lambda-c_2 \\ -k_2\lambda-c_2 & m_2\lambda^2+k_2\lambda+c_2\end{pmatrix}}_A
\begin{pmatrix}K_1\\K_2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \).
Mittels der Determinantenbedingung \( \det(A) \overset{!}{=} 0 \) lässt sich das charakteristische Polynom bilden. Es ist dabei 4. Grades und enthält im gedämpften Fall auch ungerade Potenzen weshalb es im allgemeinen nicht analytisch lösbar ist.
Es ergeben sich die vier Eigenwerte \( \lambda_1,\, \lambda_2,\, \lambda_3,\, \lambda_4 \), welche je nach Systemparametern reell oder komplex sind.
Ist das System ungedämpft vereinfacht sich das charakteristische Polynom und kann gelöst werden. Dabei ergeben sich 4 konjugiert komplexe Eigenwerte der Form \( \lambda=\pm \text{Im} \cdot i \)
Setzt man einen Eigenwert \( \lambda_i \) in die Matrix \( A \) ein kann man das GLS lösen und erhält dabei \( K_{i,1} \) und \( K_{i,2} \).
Initial muss man \( K_{11}=1 \) setzen um für die anderen K Werte zu erhalten (linear abhängig).
Aufgrund der Gleichheit von \( \lambda_1=\bar\lambda_2 \) und \( \lambda_3=\bar\lambda_4 \) gibt es nur 2 Eigenformen für K!
Ein einfacherer Ansatz für ungedämpfte Systeme ist \( \begin{pmatrix}x_{h1}\\x_{h2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}K_1\\K_2\end{pmatrix} [A \cos(\omega t)+b\sin(\omega t)]\)
Um nur die Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen zu bestimmen kann man weiter vereinfachen, da A nur von den Anfangsbedingungen abhängig ist und B cos(wt) kann man auch weglassen:
\( \begin{pmatrix}x_{h1}\\x_{h2}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}K_1\\K_2\end{pmatrix}\cos(\omega t) \)
Dabei ist \( K_i \) die Eigenform und \( \omega \) die Eigenfrequenz.
Der allgemeine Ansatz ist
\( \begin{pmatrix}x_{h1}(t) \\ x_{h2}(t)\end{pmatrix}
= C_1e^{\lambda_1 t} \begin{pmatrix}K_{11} \\ K_{12}\end{pmatrix}
+C_2e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix}K_{21} \\ K_{22}\end{pmatrix}
+C_3e^{\lambda_3 t} \begin{pmatrix}K_{31} \\ K_{32}\end{pmatrix}
+C_4e^{\lambda_4 t} \begin{pmatrix}K_{41} \\ K_{42}\end{pmatrix} \)
wobei sich die vier Konstanten \( C_1,\,C_2,\,C_3,\,C_4 \) aus den Anfangsbedingungen \( x_{01},\, x_{02},\, \dot x_{01},\, \dot x_{02} \) ergeben.
Leitet man die allgemeine Lösung ab und setzt die Anfangsbedingungen ein erhält man ein Gleichungssystem, welches auch in Matrizenschreibweise überführt werden kann.
Existieren zwei komplex konjugierte Eigenwerte so existieren auch zwei verschiedene Eigenformen, damit herrscht schwache Dämpfung.
Existieren hingegen vier verschiedene Eigenwerte gibt es auch vier verschiedene Eigenformen und damit auch starke Dämpfung.
Setzt man den Standardansatz in das DGL-System für den ungedämpften Fall ein kann man über die Determinantenbedingung die Eigenwerte bzw. Eigenkreisfrequenzen \( \omega_1, \,\omega_2 \) ermitteln.
Man kann nun abschätzen
\( \frac{1}{\omega_{1D}^2} = \sum \frac{1}{\omega_{0i}^2} \gt \frac{1}{\omega_{1}^2} \)
Die Abschätzung nach Dunkerley ist nur für den unterkritischen Betrieb des Systems geeignet.
Ablauf
- Teilsysteme bestimmen, dazu nacheinander alle Massen bis auf eine zu 0 setzen
- Ersatzfedersteifigkeiten für die Teilsysteme bestimmen
- Eigenkreisfrequenzen für die Teilsysteme bestimmen
- Näherung für die Eigenkreisfrequenz nach Dunkerley bestimmen
Ablauf
- Annahme einer realistischen Eigenschwingungsform des Schwingers als Ersatz für die exakte Schwingungsform
- Berechnung der kinetischen und potentiellen Energie des Schwingers
- Es muss gelten \( E_{kin,max}=E_{pot,max} \), dort ist nun \( \omega=\omega_R \) enthalten. Stellt man nach \( \omega_R \) um erhält man den sogenannten Rayleigh-Quotienten.
- Vergleichende Rechnungen mit anderen angenommenen Einschwingungsformen
- Näherungswert der EKF nach Rayleigh ist eine obere Grenze für den exakten Wert, daher ist der kleinste Wert die beste Abschhätzung.
Harmonische Krafterregung V7+V8
Frequenzunabhängige Amplitude
Frequenzabhängige Amplitude
Für ein System mit zwei Massen und Anregung an \( m_1 \) können wie schon für das Eigenverhalten die Bewegungsgleichungen getrennt voneinander aufgestellt und in ein Matrizensystem überführt werden.
Dieses inhomogene DGL-System 2. Ordnung hat nun als Ergebnis nicht mehr \( 0 \) sondern \( f \) mit der Anregung als Komponenten.
Die Gesamtlösung ergibt sich aus partikulärer und homogener Lösung \( x_i(t)=x_{pi}+x_{hi} \). Die homogene Lösung bestimmt sich aus dem Eigenverhalten mit \( f=0 \).
Die partikuläre Lösung lässt sich mit einem Lösungsansatz lösen. Es gibt dazu zwei gleichwertige Alternativen.
Der Ansatz wird abgeleitet und eingesetzt.
Im ungedämpften Fall kann man einfach die (Co-)Sinus-Terme eliminieren und dann können \( A_1,\, A_2, \, B_1,\, B_2 \) bestimmt werden.
Lösungsansatz in Form der Systemantwort
\( x_1=\hat x_1 \cos(\Omega t-\psi_1) \)
\( x_2=\hat x_2 \cos(\Omega t-\psi_2) \)
Hierbei gilt die Amplitude \( \hat x_i=\sqrt{A_i^2+B_i^2} \) und Phasenverschiebung \( \tan\psi_i=\frac{B_i}{A_i} \)
Der Amplitudenfrequnzgang \( \bar x_i=\frac{\hat x_i}{\hat F_1/c_1} \) gibt die "statische Auslenkung" an. Wird er über \( \Omega \) aufgetragen werden die Schwingungsamplituden und die Eigenfrequenzen der Massen ersichtlich.
Für den unterkritischen Betrieb mit \( \Omega \ll \omega_1 \) sind die Schwingungsamplituden beider Massen ungefähr gleich \( \bar x_1\approx\bar x_2 \) und sie Folgen nur der Erregerkraft.
Der kritische Betrieb in der Nähe von \( \omega_1 \) wirkt verstärkend auf \( x_2 \). Beide Massen werden durch die Erregung zu Schwingung angefacht.
Der kritische Betrieb in der Nähe von \( \omega_2 \) wirkt auf \( x_2 \) stark anfachend während \( x_1 \) nur geringe und entgegengerichtete Schwingungen aufweist.
Im Tilgungspunkt \( \Omega_T=\sqrt\frac{c_2}{m_2} \) hebt die Schwingung von \( m_2 \) die Krafterregung exakt auf und somit ist \( \hat x_1=0 \) und \( \hat x_2=\frac{\hat F_1}{c_2} \).
Dies ist nur möglich ohne Dämpfung!
Die Tilgungsfrequenz lässt sich über zwei Varianten bestimmen:
- Variante 1: \( x_{p1} \) bestimmen und =0 setzen, die dazugehöige Kreisfrequnz \( \Omega_T \) bestimmen.
- Variante 2: Durch ein geeignetes Ersatzsystem.
Lösungsansatz in Form der Erregung
\( x_1=A_1\cos \Omega t+B_1\sin \Omega t \)
\( x_2=A_2\cos \Omega t+B_2\sin \Omega t \)
Im gedämpften Fall kann man mittels Koeffizientenvergleich ein großes lin. GLS herleiten.
Im gedämpften Fall gibt es je nach \( \vartheta_2 \) eine Kurvenschar für \( \bar x_i \).
Dabei stellt das Sytem für \( \vartheta_2=\infty \) einen Einmassenschwinger dar, man erhält also nur eine einzelne Eigenkreisfrequenz \( \sqrt\frac{c_1}{m_1+m_2} \).
Weiterhin stellen sich zwei Zentralpunkte ein, die für jede Dämpfung den gleichen AFG hervorrufen.
Versucht man einen erregten Einmassenschwinger mit einer Masse \( m_2 \), Feder \( c_2 \) und Dämpfer \( k_2 \) zu tilgen gelten die folgenden Abstimmbedingungen:
- Die Zentralpunkte \( Z_1 \) und \( Z_2 \) müssen auf einer Höhe liegen.
- Die Amplitudenfunktion soll in den Zentralpunkte eine horizontale Tangente haben.
Man erhält so für die erste Bedingung
\( \frac{c_2}{c_1}=\frac{m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \)
und für die zweite Bedingung
\( k_2=m_2\sqrt\frac{(3/2)c_2}{m_1+m_2} \)
Dies stellt die geringste Antwort von \( x_1 \) auf die Erregerkraft für alle Frequenzen dar!
Man kann eine Masse so perfekt Dämpfen, allerdings nur für die genaue Betriebsfrequenz!
Im Prinzip genauso wie bei der frequenzunabhängigen Amplitude?
Fliehkraft \( ur\Omega^2 \)
Mehrere Anregungen V8
Wirken auf einen Mehrmassenschwinger mehrere Anregungen mit verschiedenen Anregungsfrequenzen kann die Systemantwort durch Superposition der Einzelantworten gefunden werden.
Dabei kann der Erregerterm reell oder komplex aufgestellt werden.
Der komplexe Weg ist generell einfacher.
- Bewegungsgleichungen aufstellen und in Matrixschreibweise überführen. Dabei ist die Dämpfermatrix nun \( \underline{\underline P} \) und die Federmatrix \( \underline{\underline Q} \).
\( M\ddot x+P\dot x+Qx=h \)
Darstellung der Erregung in reeller Schreibweise
\( \underbrace{\begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}}_{h} = \underbrace{\begin{pmatrix} F_{c11} \\ 0 \end{pmatrix}}_{h_{c1}} \cos \Omega_1 t + \underbrace{\begin{pmatrix} F_{s11}\\ 0 \end{pmatrix}}_{h_{s1}} \sin \Omega_1 t + \underbrace{\begin{pmatrix} 0\\ F_{c22} \end{pmatrix}}_{h_{c2}} \cos \Omega_2 t + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ F_{s22} \end{pmatrix}}_{h_{s2}} \sin \Omega_2 t \)
Und daraus folgt der Lösungsansatz in Form der Erregung mit
\( \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}_{x} = \underbrace{\begin{pmatrix} x_{c11} \\ x_{c12} \end{pmatrix}}_{x_{c1}} \cos \Omega_1 t + \underbrace{\begin{pmatrix} x_{s11}\\ x_{s12} \end{pmatrix}}_{x_{s1}} \sin \Omega_1 t + \underbrace{\begin{pmatrix} x_{c21}\\ x_{c22} \end{pmatrix}}_{x_{c2}} \cos \Omega_2 t + \underbrace{\begin{pmatrix} x_{s21} \\ x_{s22} \end{pmatrix}}_{x_{s2}} \sin \Omega_2 t \)
- Der Lösungsansatz wird abgeleitet und in das inhomogene DGL eingesetzt. Man erhält die zwei LGS in kompakter Schreibweise
\( \begin{pmatrix}
\underline{\underline Q}-\Omega_1^2 \underline{\underline M}
& \Omega_1 \underline{\underline P} \\
-\Omega_1 \underline{\underline P}
& \underline{\underline Q}-\Omega_1^2 \underline{\underline M}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{c1} \\
x_{s1} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} h_{c1} \\
h_{s1} \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}
\underline{\underline Q}-\Omega_2^2 \underline{\underline M}
& \Omega_2 \underline{\underline P} \\
-\Omega_2 \underline{\underline P}
& \underline{\underline Q}-\Omega_2^2 \underline{\underline M}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{c2} \\
x_{s2} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} h_{c2} \\
h_{s2} \end{pmatrix} \)
- Das inhomogene LGS kann nun nach \( x \) gelöst werden (Cramer-Verfahren, Gauß-Jordan-Verfahren etc.)
Es ergeben sich die Konstanten \( x_{cij},\, x_{sij} \).
Die invertierte Matrix wird auch als reelle Frequenzgangmatrix bezeichnet.
- Die Konstanten \( x_{cij},\, x_{sij} \) werden nun wieder in den Lösungsansatz eingesetzt (Superposition) und ergeben somit \( x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \).
- Darstellung der Erregung in komplexer Schreibweise:
Die Eulersche Formel \( e^{\pm j\varphi}=\cos\varphi\pm\sin\varphi \) kann umgestellt werden zu \( \cos\varphi=\frac 12(e^{j\varphi}+e^{-j\varphi}) \) bzw. \( \sin\varphi=-\frac j2 (e^{j\varphi}-e^{-j\varphi}) \).
Damit kann die Erregerfunktion umgeschrieben werden zu
\( h=\underbrace{\frac 12 (h_{c1}-jh_{s1})}_{h_1} e^{j\Omega_1 t} + \underbrace{\frac 12 (h_{c1}+jh_{s1})}_{\bar h_1} e^{-j\Omega_1 t} + \underbrace{\frac 12 (h_{c2}-jh_{s2})}_{h_2} e^{j\Omega_2 t} + \underbrace{\frac 12 (h_{c2}+jh_{s2})}_{\bar h_2} e^{j\Omega_2 t} \)
\( h = h_1e^{j\Omega_1 t} + \bar h_1e^{-j\Omega_1 t} + h_2e^{j\Omega_2 t} + \bar h_2e^{-j\Omega_2 t} \) - Daraus folgt der Lösungsansatz in Form der Erregung
\( x = x_1e^{j\Omega_1 t} + \bar x_1e^{-j\Omega_1 t} + x_2e^{j\Omega_2 t} + \bar x_2e^{-j\Omega_2 t} \)
mit \( x_1=\frac 12 (x_{c1}-jx_{s1}) \) und \( x_2=\frac 12 (x_{c2}-jx_{s2}) \)
- Der Lösungsansatz besteht aus 4 Summanden. Die komplex konjugierten Terme können nun vernachlässigt werden, da sie keine neuen Informationen beinhalten. Die beiden anderen Ansätze werden einzeln abgeleitet und eingesetzt. Dabei ist zu beachten welche Erregerterme weggelassen werden. Man erhält die Gleichungssysteme
\( (-\Omega_1^2 \underline{\underline M} + j\Omega_1 \underline{\underline P} + \underline{\underline Q})x_1=h_1 \)
\( \land (-\Omega_2^2 \underline{\underline M} + j\Omega_2 \underline{\underline P} + \underline{\underline Q})x_2=h_2 \)
- Die beiden inhomogenen DGLs können nun gelöst werden (invertieren für große Matrizen, Cramersche Regel, Gauß-Jordan-Verfahren für kleinere).
Man erhält \( x_{11},\, x_{12},\, x_{21},\, x_{22} \).
Die invertierte Matrix nennt sich komplexe Frequenzgangmatrix \( F_n^* \)
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Zusammengesetzte Erregungen
Fourier-Transformation V8
Typische Erregungsformen
- Harmonische Erregung (z.B. Sinus)
- Periodische Erregung (z.B. Sägezahn)
- Transiente Erregung (zusammengesetzt)
- Stochastische Erregung (Mitterlwert, Varianz, Schiefe und Wölbung sind bekannt)
Eine allgemeine Erregung kann durch Fourier-Transformationen in einzelne harmonische Erregungen zerteilt werden.
Fourier-Transformation eines beliebigen Erregungsverlaufs \( f(t) \). Reelle und komplexe Darstellung möglich.
\( F(t)=\sum_{n=-k}^k c_n e^{j(n\Omega t)} \)
mit \( c_n=\frac 1T \int_{t=0}^T f(t) e^{-j(n\Omega t)} dt \) und \( n=-k(1)k \)
Bei der Verwendung von FFT können Fehler auftreten, wenn der zu transformierende Abschnitt nicht periodisch ist, sondern einen Sprung zwischen Ende und Anfang aufweist.
Es entstehen dann weitere Frequenzen.
Dies kann vermeiden werden, wenn Fensterfunktionen verwendet werden. Sie werden mit dem Messsignal multipliziert und die FFT dann auf das gefensterte Signal angewendet.
Typische Fensterfunktionen sind
- Rechteckfenster (kompletter Ausschnitt)
- sehr gute Frequenzschärfe
- sehr schlechte Amplitudenschärfe
- Von-Hann-Fenster (Sinuskurve von 0 zu 1 zu 0)
- gute Frequenzschärfe
- schlechte Amplitudenschärfe
- Flattop-Fenster / Mexican Hat (Spitze Sinuskurve von 0 zu 1(spitz) zu 0 mit leichten Überschwingern ins negative)
- sehr schlechte Frequenzschärfe
- sehr gute Amplitudenschärfe