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Modeling dependence: Correlation & Copulas (Empirical Properties of…

- - - - Trading
        
        Quanto options 用本幣買外幣option 鎖定匯率
        
        = 買了currency risk 的protection
        
        underlying的價格同匯率之間的相關性會影響quanto option價格當相關性是正，對seller有好處，quanto 價格較便宜
        
        Correlation swaps 用fixed correlation 換將來未知correlation
        
        Realized p: NC2 (總和p)
        
        payoff: Notional amount x (P realized - P fixed)
        
        Multi-asset / Correlation options Options 價值取決於相關性的敏感程度
        
        Options worse of two (相關性高好)
        
        Call Max of two (相關性小好)
        
        Exchange option (相關性小好)
        
        Options better of two (相關性小好)
        
        Spread call option (相關性小好)
        
        當correlation 增加，buy correlation方法
        
        買 index call option，賣單隻股票的 call option (平均值)
        
        pay fixed index 的variance swap，receive fixed 各股的variance swap 2邊本身的波動率對沖掉，但index 還會受相關性影響所以升得較多
      - Risk Mangement
        
        Market risk (組合VaR= σ α √x ): 組合中相關系數上升，分散化收益下降， Volatility 上升
        
        Credit risk: 同一版塊的相關性較高 (受到相同macro factors影響) A評級時間長default probability會大，C評級扛過去會越來越好
        
        Systemic risk: 整個系統collapse，相關性會隨住systemic risk 上升，即使分散化都沒用
        
        Concentration risk: 越低concentration ratio, 越diversified (交易對手之間的相關系數都要低)
      - The global financial crisis
        
        Collateralized debt obligation CDOs: 07-08年期間，mortgages 違約的相關性上升，其它tranche都跑不掉，層之間的相關性都上升，Senior層都有很大損失
      - Investment: Correlation 高--> Risk 高, Return/risk ratio 高
- - - - 不準確的inputs
      - Erroneous assumptions: 假設回報是正態分佈(低估左尾)
      - 數學不一致性(小數情況)
      - 使用歷史數據去Calibration模型(例如07 crisis是用06年前較對，低估risk)
      - 任個模型都不能反映真實數據 (07太相信new copula相關性模型)
    - - Pearson correlation (linear association)
        
        Formula: Covariance 除 σxσy
        
        Limitation
        
        只能算線性關係
        
        有誤導性，相關系數=0不等於沒關係，只代表沒有線性關係
        
        當joint 分佈是elliptical, linear是可以用的
        
        X & Y的Variances 要是finite (但當峰度很大，有可能是infinite)
        
        不具有變形的invariant (將X & Y變形做lnX & lnY，但它們的相關性不一樣)
      - Spearman Rank correlation: nonparametric, ordinal (只有排序重要, 數值不重要)
        
        Formula** 重要: 1- [(6 x d^2的總和)除n(n^2 -1)]
        
        先從小到大排序，X & Y都排 2. d= Rank X-Rank Y(同一年)
        
        -1 到 +1，同Pearson的結果差不多
        
        Limitation: 觀察值本第是ordinal，用這種方法是好，但如果是數值，結果會less sensitive
      - Kendall's T: nonparametric, ordinal, -1到+1
        
        Formula **: T= nc-nd 除 n(n-2)/2
        
        nc: concordant pairs A年的X 同Y 同各年排序同方向變化（同升/同跌) nd: discordant pairs 後方向
        
        當有一年 X 同Y 系一樣排序，同佢配對的各組合不用考慮
        
        Limitation
        
        觀察值本第是ordinal，用這種方法是好，但如果是數值，結果會less sensitive
        
        把有些數據delete不用，有偏差