GMSD V9

Kontinuierliche Systeme

GMSD V9

Kontinuierliche Systeme

Balkenschwingung

Kontinuierliche Systeme unterscheiden sich von diskreten Systemen dadurch, dass sich die Massen, Dämpfungen und Steifigkeiten nicht klar aufteilen lassen.

Die Eigenfrequenz eines zweiseitig eingespannten Balkens kann nach Rayleigh nach oben hin mit dem Rayleigh-Quotienten abgeschätzt werden.

Kinetische Energie

Für ein infinitesimales Balkenelement gilt $dE_{kin}=\frac 12 \dot w^2(x)\, dm$ .
Mit $dm=\mu(x)\, dx$ folgt $dE_{kin}=\frac 12 \mu(x)\ \dot w^2(x)\, dx$ .

Die Schwingung ist sowohl weg- als auch Zeitabhängig: $\to w=w(x,t)=\hat w(x)\sin\Omega t$
$\to \dot w=\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}=\hat w(x)\ \omega \cos \omega t$

Dann gilt für das Maximum der kinetischen Energie $E_{kin,max}=\frac 12\int_0^l \mu(x)\ \dot w_{max}^2(x)\, dx$
$=\frac 12 \omega^2 \int_0^l \mu(x)\ \hat w^2(x)\, dx$

Kennwerte

Biegung an Stelle x: $ w(x)=y(x) $
Massenverteilung $ \mu(x)=\rho\cdot A(x) $
Flächenträgheitsmoment $ I $
Elastizitätsmodul $ E $
Nachgiebigkeit $ \alpha =1/c $

Potentielle Energie

die Formänderungsarbeit eines Balkens unter Biegebelastung $ M_b $ lautet $ dE_{pot}=\frac 12 \frac{M_b^2(x)}{I(x)\,E}dx $
Für die Steigungsänderung der Biegelinie gilt $ w''(x)=\frac{M_b(x)}{I(x)\,E} $.
Daraus folgt $ dE_{pot}=\frac 12 I(x)\,Ew''^2(x)\,dx $.
Das bedeutet für das Maximum der potentiellen Energie erhält man $ E_{pot,max}=\frac 12\int_0^l EI(x)\,w''^2_{max}(x)\, dx $
$ =\frac12 E\int_0^l I(x)\,\hat w''^2(x)\,dx $

Aus dem Maximum der kinetischen Energie und der potentiellen Energie ergibt sich nun der Rayleighsche Quotient $ \omega^2=\frac{E_{kin,max}}{E_{pot,max}} $.
Für einen runden Biegestab ergibt sich somit $ \omega_{1R}=\left(\frac\pi l\right) \frac d4 \sqrt{E/\rho} $ als kleinste obere Abschätzung für die exakte Eigenkreisfrequenz.

Angenommen wird eine Grundschwingung in Form einer halben Sinuslinie mit Amplitude $ w_0 $. Sie ist sowohl von x als auch von t abhängig:
$ w(x,t)=w_0 \sin\left(\frac \pi lx\right) \sin \omega t $
$ \implies \hat w(x)=w_0 \sin\left(\frac \pi l x\right) $
$ \implies \hat w''(x)=w_0\left(\frac\pi l\right)^2\sin\left(\frac\pi lx\right) $

Numerische Lösungsverfahren

Übertragungsmatrizenverfahren

Besonders für unverzweigte Strukturen geeignet
Struktur wird in Teilabschnitte aufgeteilt
Übertragungsmatrix wird für jeden Teilabschnitt aufgestellt $ \underline x_{i+1}=\underline{\underline T}_{i+1} \underline x_i $
Gesamtübertragungsmatrix wird aus einzelnen Teilabschnitten zusammengesetzt $ \underline{\underline T}_{ges}=\prod_{i=1}^N \underline{\underline T}_i $
Gesamtsystem $ \underline x_N=\underline{\underline T}_{ges} \underline x_0 $

Finite-Differenzen-Methode

Geometrie wird durch Gitter beschrieben
Ableitungen werden durch linearisierte Differenzenquotienten ausgedrückt
Es gibt vorwärtige, rückwärtige und zentrale Differenzenquotienten
- Vorwärts $ f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $
- Rückwärts $ f'(x)=\frac{f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x} $
- Zentral $ f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x} $

Finite-Elemente-Methode

Bietet Möglichkeiten zur Ermittlung von Verschiebungen, Spannungen, Eigenfrequenzen, Gesamtlösung des Schwingungssystems, partikuläre Lösungen

Wird ein einseitig eingespannter Balken ausgelenkt stellt sich für die Bewegung eines infinitesimalen Balkenelements ein:
Momentengleichgewicht $ M'(x,t)=Q(x,t) $
Kräftegleichgewicht $ Q'(x,t)=\mu \ddot w(x,t) $
$ \implies M''(x,t)=\mu \ddot w(x,t) $

Setzt man das Hookesche Stoffgesetz $ M(x,t)=-\underbrace{E I(x)}_{B(x)}w''(x,t) $ in die Bewegungsgleichung ein, und ist $ B(x)=const. $ (konst. Querschnitt), erhält man eine partielle BewegungsDGL 4. Ordnung $ Bw''''(x,t)+\mu \ddot w(x,t)=0 $

Wegen der 4. Ableitung nach x werden 4 Randbedingungen für die Position benötigt
und wegen der 2. Zeitableitung werden 2 Randbedingungen für die Zeit benötigt.

Mit dem Produktsatz von Bernoulli kann die DGL in das Produkt einer rein ortsabhängigen Biegelinie $ w(x) $ und einer rein zeitabhängigen Funktion $ q(t) $ aufgeteilt werden:
$ w(x,t)=w(x)\,q(t) \implies w''''(x,t)=w''''(x)\,q(t)$ und $ \ddot w(x,t)=w(x)\,\ddot q(t) $.
Eingesetzt erhält man so $ B w''''(x)\,q(t)+\mu w(x)\,\ddot q(t)=0 $

Umgestellt zu $ \iff \frac{Bw''''(x)}{\mu w(x)}=-\frac{\ddot q(t)}{q(t)}=const.=\omega^2 $
Der linke Term ist rein vom Ort abhängig, er darf sich also bei Zeitänderungen nicht verändern. Deshalb muss die Gleichung konstant sein.
Den zweiten Term kann man auch zu $ \ddot q(t)+\omega^2 q(t)=0 $ umstellen, was der DGL eines Einmassenschwingers entspricht, daher bekommt man oben das $ const.=\omega^2 $

Man hat nun die zwei gewöhnlichen DGL
$ \ddot q(t)+\omega^2 q(t)=0 $
$ Bw''''(x)-\omega^2\mu w(x)=0 $
welche über die gewohnten Ansätze weiter analysiert werden können.

$ I_y=\int_A z^2\,dA $
$ I_{Kreis}(x)=\frac\pi 4(R^4(x)-r^4(x)) $
$ I_{Rechteck}(x)=\frac{b(x)\,h^3(x)}{12} $