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GMSD V9Kontinuierliche Systeme (Balkenschwingung (Die Eigenfrequenz eines…

- - - - Wegen der 4. Ableitung nach x werden 4 Randbedingungen für die Position benötigt
        und wegen der 2. Zeitableitung werden 2 Randbedingungen für die Zeit benötigt.
      - Mit dem Produktsatz von Bernoulli kann die DGL in das Produkt einer rein ortsabhängigen Biegelinie \( w(x) \) und einer rein zeitabhängigen Funktion \( q(t) \) aufgeteilt werden:
        \( w(x,t)=w(x)\,q(t) \implies w''''(x,t)=w''''(x)\,q(t)\) und \( \ddot w(x,t)=w(x)\,\ddot q(t) \).
        Eingesetzt erhält man so \( B w''''(x)\,q(t)+\mu w(x)\,\ddot q(t)=0 \)
        
        Umgestellt zu \( \iff \frac{Bw''''(x)}{\mu w(x)}=-\frac{\ddot q(t)}{q(t)}=const.=\omega^2 \)
        Der linke Term ist rein vom Ort abhängig, er darf sich also bei Zeitänderungen nicht verändern. Deshalb muss die Gleichung konstant sein.
        Den zweiten Term kann man auch zu \( \ddot q(t)+\omega^2 q(t)=0 \) umstellen, was der DGL eines Einmassenschwingers entspricht, daher bekommt man oben das \( const.=\omega^2 \)
        
        Man hat nun die zwei gewöhnlichen DGL
        \( \ddot q(t)+\omega^2 q(t)=0 \)
        \( Bw''''(x)-\omega^2\mu w(x)=0 \)
        welche über die gewohnten Ansätze weiter analysiert werden können.