Transformaciones lineales
Es una función
Tiene dominio y codominio
Estos son espacios vectoriales
F : V ---> W
F ( U + V)= F(U) + F(V)
F(K . V)= K . F(V)
Propiedades
La imagen del vector -V
Dado r vectores del espacio vectorial v
La imagen del vector del dominio 0V
Es del vector nulo del codominio 0W
T(0V)= 0W
Es igual al opuesto de la imagen de v
T(-V)= -TV
V1, V2,......Vr
Tomamos una combinación lineal en el dominio
α1v1 + α2v2 +......αrvr
Si aplicamos la transformación lineal F de V a W
F( α1v1 + α2v2 +α3v3 + .....αrvr) = α1F(v1) + α2F(v2) + .....αrF(vr)
Una transformación lineal (transporta) combinaciones lineales de v a w
Conservando los escalares de la combinación lineal
Núcleo
Subespacio vectorial
Perteneciente al espacio vectorial v
Cuyo vector correspondiente
Espacio vectorial w
Vector cero
N(F) = {v ∈ v / f(v) = 0w}
Imagen
Conjunto de vectores de v
Bajo la transformación de T
ImT = { w ∈ w:w= Tv para alguna v ∈ V}
Teorema de la dimensión
Sea v y w dos k-espacios vectoriales
v de dimensión finita
f: v --->w
Transformación lineal
Validez de las propiedades usuales de funciones
Objetivo
Transformar un espacio vectorial en otro
f es un epimorfismo si es f es subyectiva
f es un isomorfismo si f es biyectiva
f es un monomorfismo si f es inyectiva
Matriz de transformación
Proyectores
Sea v un k-espacio vectorial
Una transformación lineal
f : v ---->v
Se llama un proyector
f o f = f
Cualquier transformacion lineal
Entre espacios de dimensión finita
Se puede representar mediante una matriz
Solo existe una matriz unica de mxn
Matriz de transformación At
Representación matricial de T
Tx = At x