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Transformaciones lineales (Propiedades (La imagen del vector -V (Es igual…
Transformaciones lineales
Es una función
Tiene dominio y codominio
Estos son espacios vectoriales
F : V ---> W
F ( U + V)= F(U) + F(V)
F(K . V)= K . F(V)
Propiedades
La imagen del vector -V
Es igual al opuesto de la imagen de v
T(-V)= -TV
Dado r vectores del espacio vectorial v
V1, V2,......Vr
Tomamos una combinación lineal en el dominio
α1v1 + α2v2 +......αrvr
Si aplicamos la transformación lineal F de V a W
F( α1v1 + α2v2 +α3v3 + .....αrvr) = α1F(v1) + α2F(v2) + .....αrF(vr)
Una transformación lineal (transporta) combinaciones lineales de v a w
Conservando los escalares de la combinación lineal
La imagen del vector del dominio 0V
Es del vector nulo del codominio 0W
T(0V)= 0W
Núcleo
Subespacio vectorial
Perteneciente al espacio vectorial v
Cuyo vector correspondiente
Espacio vectorial w
Vector cero
N(F) = {v ∈ v / f(v) = 0w}
Imagen
Conjunto de vectores de v
Bajo la transformación de T
ImT = { w ∈ w:w= Tv para alguna v ∈ V}
Teorema de la dimensión
Sea v y w dos k-espacios vectoriales
v de dimensión finita
f: v --->w
Transformación lineal
Validez de las propiedades usuales de funciones
f es un epimorfismo si es f es subyectiva
f es un isomorfismo si f es biyectiva
f es un monomorfismo si f es inyectiva
Objetivo
Transformar un espacio vectorial en otro
Matriz de transformación
Cualquier transformacion lineal
Entre espacios de dimensión finita
Se puede representar mediante una matriz
Solo existe una matriz unica de mxn
Matriz de transformación At
Representación matricial de T
Tx = At x
Proyectores
Sea v un k-espacio vectorial
Una transformación lineal
f : v ---->v
Se llama un proyector
f o f = f