Análisis en el dominio de la frecuencia de sistemas discretos lineales e invariantes
Transformada Z inversa
Soluciones de ecuaciones en diferencias usando la trasformada Z
Solucion
Sustituciones
Transformadas Z y sus propiedades
Convierte
Clases
una señal real
una señal compleja
definida
del tiempo discreto
transformada Z bilateral
transformada Z unilateral
en representacion
del dominio
frecuencia compleja
señal definida
en dominio
tiempo discreto
x(n)
Funcion X(z)
definida
señal definida
unica para n>=0
transformada Z
donde Z es
unilateral
definida
Tabla de Z
Metodos
Ejemplo
Método Computacional
Método de expansion en fracciones parciales
Método de la división directa
Método de la integral de inversión
Es definida
donde C
es un circulo cerrado
envuelve
el origen
la region
Convergencia (ROC)
contorno C
contiene
todos
los polos X (z)
Caso Especial
simple
cuando C
es el circulo unidad
obtenemos
la transformada discreta de fourier (DFT)
caso especial
TZ
Obtiene
limitando
Z
para coincidir
circulo unidad
problema
Halle X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4
para
Solucion
transformada Z inversa
definida por
Región de convergencia (ROC)
Dividiendo el numerador
se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+18.4Z-3+18.68Z-4+ ...
Comparamos
la expansion X(Z)
en
Metodo mas usado
obtenemos
X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68
es
descomposicion
fracciones
parciales X(Z)
define
la region
donde la transformada z existe
Propiedades
Propiedades
Si x(n) es finita
Si x(n) es sec del lado derecho
ROC no tiene polo
Si x(n) es sec del lado izquierdo
SI x(n) es sec de 2 lados
ROC es plano -z
excepto en |z|=0 o |z|=∞.
ROC se extiende hacia fuera x[z]
ROC se extiende hacia dentro x[z]
ROC va ser anillo en plano-z
restringida
al interior
exterior
por un polo
Grafico
ROC CASUAL
ROC ANTICASUAL
Expansion en el tiempo
Desplazamiento en el tiempo
Linealidad
Escalamiento en el espacio Z
Inversion en el tiempo
Dominio del tiempo
Dominio del tiempo
Dominio del tiempo
Espacio Z
Espacio Z
Dominio del tiempo
Espacio Z
Espacio Z
Dominio del tiempo
Espacio Z
Obtener
Transformada
Z
de la ecuación
usando
desplazamiento
tomar
transformadas
de
Z
Problema
obtenemos
Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]+3ZX[Z]-3ZX[0]+2X[Z]=0
X[n+2]+3X[n+1]+2X[n]=0
con X[0]=0, X[1]=1
Resuelva
las iniciales
Simplificamos
Obtenemos
por lo que x es
X[n]=[(-1)k-(-2)k]U[n]