Espacios vectoriales
Un conjunto no vació V de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por un escalar, sujeta a 10 axioma.
Espacio euclidiano: Es una generalización de un espacio bidimensional y tridimensional.
1.- Un conjunto V de objetivos.
2.- Una operación denotada con + que a cada par de vectores v, w en V asocia un vector v + w, también en V, llamado v y w.
3.- Una operación llamada multiplicación escalar.
consiste
es
existen
Definirse de tal manera que:
La suma sea conmutativa
La suma se asociativa
Exista un vector 0
Para cada vector v en V hay un inverso aditivo.
Las operaciones deben
existen
Bases ortonormales.
Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal
donde
.
MéTodo de Gram-Schmidt
Es un algoritmo simple para obtener una base
ortogonal (u ortonormal, normalizando los nuevos vectores) a partir de otra que no lo es.
Espacios con producto interno
Algunas nociones geom´etricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar.
La definición que sigue es una generalización del producto escalar a otros espacios vectoriales.
Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C).
Un producto interno sobre V es una función Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple:
i) Para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V
• Φ(v + w, z) = Φ(v, z) + Φ(w, z)
• Φ(α.v, z) = α. Φ(v, z)
ii) Φ(v, w) = Φ(w, v) ∀ v, w ∈ V .
(Notar que esta condición implica que para cada v ∈ V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir que Φ(v, v) ∈ R.)
iii) Φ(v, v) > 0 si v 6= 0.
Tansformaciones lineales son las funciones con las que se trabaja en Algebra Lineal. ´ Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios
las
Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una función f : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:
i) f(v +V v 0 ) = f(v) +W f(v 0 ) ∀ v, v0 ∈ V.
ii) f(λ ·V v) = λ ·W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.
Observación
Si f : V → W es una transformación lineal, entonces f(0V ) = 0W .
En efecto, puesto que f(0V ) =
f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ), entonces
0W = f(0V ) + (−f(0V )) = ³ f(0V ) + f(0V ) ´ + (−f(0V )) =
= f(0V ) + ³ f(0V ) + (−f(0V ))´ = f(0V ) + 0W = f(0V )
Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y otros métodos, y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (relacionar una función matemática con diversas variables independientes y las derivadas parciales de la misma respecto de dichas variables). Por otro lado, sirven para el tratamiento de objetos físicos y geométricos, como ser los tensores.
04/08/2019
Actividad 9 Mapa conceptual
Materia: Algebra
Nombre: DIEGO EMMANUEL CORONA LEÓN
Carrera: INGENIERÍA INDUSTRIAL
Matrícula: 040149468
Plantel: Tlalpan