Espacios vectoriales
Construcción de espacios vectoriales
Espacio vectorial
Bases
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa
Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades
- Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible)
- Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible)
- Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector
A un conjunto de vectores que genera y es linealmente independiente le llamaremos una base. A la cantidad de elementos que tiene una base le llamaremos la dimensión del espacio.
Es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes. Toda base de un mismo espacio vectorial tiene el mismo número de vectores denominado dimensión del espacio vectorial.
un espacio vectorial es una estructura algebraica
creada a partir de e un conjunto no vacío + Operación interna + Operación externa y cuenta con 8 propiedades fundamentales
Consta de un conjunto de vectores V, aun cuando en casos específicos puede tratarse de matrices o funciones
Una operación denotada con + que a cada par de vectores v, w en V asocia un vector v + w también en V, llamado suma de v y w Una operación llamada multiplicación escalar que a cada número real r y vector v en V le asocia un vector rv en V, llamado producto de r y v Base
Transformaciones lineales
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Aplicaciones de espacios vectoriales
Espacios con producto interno
Método de Gram Schmidt,
Orto-normales
Un espacio vectorial V es un conjunto de vectores con dos operaciones, la suma y la multiplicación por escalar, que satisfacen las siguientes propiedades.
Suma de vectores
Multiplicación por escalar
El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado RESULTANTE
Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, ..., vn}. Sean w1, w2, ..., wn n vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi= T2vi = wi para i = 1, 2, ..., n.
Teorema 3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ..., vn}. Sea también W un espacio vectorial que contiene a los n vectores w1, w2, ..., wn. Entonces existe una única transformación lineal T: V → W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, ..., n.
Teorema 1. Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2, ..., αn:
PROPIEDADES
(Cerradura bajo la operación de dos elementos de)
(Cerradura ante de un elemento del cuerpo y un elemento de )
Propiedad Asociativa
Propiedad distributiva para la operación entre elementos de
Propiedad distributiva para la operación (+) entre escalares
Propiedad Asociativa
Existencia de elemento opuesto ante
Existencia de elemento neutro ante
Propiedad conmutativa
Existencia de elemento neutro ante la operación
Un espacio vectorial es un objeto básico en el álgebra lineal, compuesto de elementos vectoriales mejor conocidos como vectores, estos se pueden multiplicar por un escalar o sumarse entre ellos, los vectores proporcionan una indeterminada forma que deja atrás las coordenadas, un espacio vectorial no puede estar vacio. Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse
Un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones
Suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
Producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av
Una aplicación lineal (o transformación lineal) es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones (suma de vectores y producto por escalares). Desde el punto de vista práctico podemos considerar que una aplicación lineal f : R n −→ R m es siempre una función de la forma f(⃗x) = A⃗x con A ∈ Mm×n cuando escribimos ⃗x y f(⃗x) como vectores columna. Las filas de A están formadas por los coeficientes que aparecen en las coordenadas de f(⃗x)
Las aplicaciones lineales más importantes son las que aplican R n en sí mismo y por tanto tienen una matriz cuadrada A ∈ Mn×n. Un problema natural que aparece en muchas aplicaciones es saber si utilizando una base adecuada (por así decirlo, cambiando el sistema de referencia) se podría simplificar A hasta hacer que sea muy sencilla. Esto es lo que motiva la diagonalización de matrices
Una base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno (producto escalar) en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria.
Vectores ortogonales
Vectores unitario
La base de la figura es la base canónica del espacio R3 formada por 3 vectores unitarios y ortogonales, (1,0,0) (0,1,0) y (0,0,1,).Estos vectores numéricos se identifican con los vectores libres i, j, k respectivamente, forman la base canónica de V 3.
En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
El método de ortogonalización de Gram-Schmidt nos permite transformar una base cualquiera {v1, . . . , vr} de un subespacio W de R n o C n una base ortogonal del mismo. Para comprender la idea fundamental de este método basta comprender el caso especial en el que tenemos solamente dos vectores linealmente independientes, v1 v2.
El método consiste en dos proyecciones. La base ortogonal de R3 compuesta por u1, u2, u3, se calcula de la siguiente manera.
Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo, u1 = v1.
u2 se calcula como la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre u1. Dicha diferencia es perpendicular a u1. Es equivalente afirmar que u2 es la diferencia entre v2 y el vector que resulta de proyectar a v2 sobre la recta que genera u1.
u3 es la diferencia entre v3 y el vector que resulta de proyectar a v3 sobre el plano generado por u1 y u2. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y a є C, entonces
