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Espacios vectoriales (Orto-normales (Una base ortonormal es un espacio…

- - - - Consta de un conjunto de vectores V, aun cuando en casos específicos puede tratarse de matrices o funciones
      - Una operación denotada con + que a cada par de vectores v, w en V asocia un vector v + w también en V, llamado suma de v y w Una operación llamada multiplicación escalar que a cada número real r y vector v en V le asocia un vector rv en V, llamado producto de r y v Base
  - - - Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
    - - Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible)
      - Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible)
      - Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector
- - - - Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado RESULTANTE
    - - El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
    - - Propiedad Asociativa
      - Propiedad distributiva para la operación entre elementos de
      - Propiedad distributiva para la operación (+) entre escalares
      - Propiedad Asociativa
      - Existencia de elemento opuesto ante
      - Existencia de elemento neutro ante
      - Propiedad conmutativa
      - Existencia de elemento neutro ante la operación
  - - - Teorema 1. Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares α1, α2, ..., αn:
- - - - Suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
      - Producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av
      - Una aplicación lineal (o transformación lineal) es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones (suma de vectores y producto por escalares). Desde el punto de vista práctico podemos considerar que una aplicación lineal f : R n −→ R m es siempre una función de la forma f(⃗x) = A⃗x con A ∈ Mm×n cuando escribimos ⃗x y f(⃗x) como vectores columna. Las filas de A están formadas por los coeficientes que aparecen en las coordenadas de f(⃗x)
        
        Las aplicaciones lineales más importantes son las que aplican R n en sí mismo y por tanto tienen una matriz cuadrada A ∈ Mn×n. Un problema natural que aparece en muchas aplicaciones es saber si utilizando una base adecuada (por así decirlo, cambiando el sistema de referencia) se podría simplificar A hasta hacer que sea muy sencilla. Esto es lo que motiva la diagonalización de matrices