Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Fluidtechnik1. Grundlagen (Formeln und Formelzeichen (Flüssigkeitssäule…

- - - - Die zeitliche Änderung des Impulses eines Systems ist gleich der Summe der wirksamen äußeren Kräfte
      - Anwendung des Gesetzes auf ein Kontrollvolumen KV
  - - - Integriert man die Geschwindigkeitsvertilung über den Querschnitt erhält man den
        Volumenstrom \( Q = \frac{\pi r^4}{8 \eta l} (p_1-p_2) \)
        und daraus folgend den
        hydraulischen Widerstand \( R_H = \frac{\Delta p}{Q} = \frac{8 \eta l}{\pi r^4} \)
        (Hagen-Poiseuille-Gesetz für laminare Strömung)
    - - Laminare Strömung im rechteckigen Spalt
        mit Randbedingungen \( l > 100 h; \quad b >>h \)
        Volumenstrom \( Q = 2 \cdot \int_{y=0}^{y=h/2} \dot x \, dA = \frac{b h^3}{12 \eta l} (p_1- p_2)\)
        Hydraulischer Widerstand \( R_H = \frac{12 \eta l}{b h^3} \)
      - Volumenstrom durch einen exzentrischen Dichtspalt
        \( Q = \frac{d \pi \Delta r^3}{12 \eta l}\left[1+1,5\left(\frac{e}{\Delta r}\right)^2 \right] (p_1 - p_2) \)
      - Stationäre Strömung durch eine Blende
        mit den Positionen 0 als Blende, 1 davor, 2 danach und 3 kurz hinter Blende bei der größten Strömungsbündelung
        Geschwindigkeit \( v_3 = \sqrt{\frac{2 \Delta p'}{\rho}} \) mit \( \Delta p' = p_1- p_3 \)
        Volumenstrom \( Q = A_3 \sqrt{\frac{2 \Delta p'}{\rho}} \)
        Volumenstrom mit Durchflusskoeffizient \( \alpha_D \) \( Q=\alpha_D A_0 \sqrt\frac{2 \Delta p}{\rho} \) mit \( \Delta p = p_1 - p_2 \)
      - Ausbildung der laminaren Strömung
        Propfenströmung mit konstanter Geschwindigkeit über den Querschnitt \( Q = vA \)
        voll ausgebildete Strömung \( Q = \int_0^r v(r) \, dA \)
        laminare Anlaufstrecke \( l_{An} \approx d \cdot 0,058 \, Re \)
      - Druckverluste in hydraulischen Kreisläufen
        Druckverlust in Rohrleitungen (nach Blasius) \( \Delta p_R = \sum \lambda \frac{l}{d} \frac{\rho}{2} v^2 \) mit der \( \lambda \)-Widerstandszahl
        Druckverluste in Formstücken (Krümmer, Abzweigung etc) \( \Delta p_F = \sum_i \xi_i \frac{\rho}{2} v_i^2 \) mit dem \( \xi \)-Beiwert
        
        Die Widerstandszahl ist bei laminarer Strömung nur von der Reynoldszahl abhängig \( \lambda = 64/Re \).
        Für turbulente Strömungen nähert sich die Widerstandszahl für hohe Verhältnisse von Rohrradius zu Wanderhebung an \( \lambda = 0,3164/Re^{0,25} \) an.
        
        Stellt man den Druckverlust einer Blende nach der Geschwindigkeit um und vergleicht diese mit der Blendengleichung nach der Geschwindigkeit umgestellt folgt \( \alpha_D = \sqrt{1/\xi} \)
      - Gesetz von Blasius
        Wie der Satz von Bernoulli, nur mit Verlusten.
        \( \text{Bernoulli}_1-\text{Bernoulli}_2=\sum\Delta p_{Verlust} \)
    - - Gegeben: \( \Delta p \), gesucht: \( Q \)
        
        Startwert für \( \lambda \) schätzen
        
        Strömungsgeschwindigkeit berechnen
        
        Reynoldszahl berechnen
        
        \( \lambda \) neu bestimmen
        4.1. Bei Bedarf mit neuem \( \lambda \) wiederholen
        
        \( Q \)
      - Gegeben: \( Q \), gesucht: \( \Delta p \)
        
        Strömungsgeschwindigkeit berechnen
        
        Reynoldszahl berechnen
        
        \( \lambda \) bestimmen
        
        \( \Delta p \)
  - - - Kennwerte
        Der Kompressionsmodul gibt an wieviel Kraft nötig ist um ein Fluid um ein bestimmtes Volumen zu komprimieren. Lufteinschlüsse veringert den Modul stark.
        Der Ersatzkompressionsmodul berücksichtigt die Kompressebilität des Fluids und die Elastizität der umgebenden Bauteile
        \( \begin{align} \text{Kompressionsmodul} \, E_{Fl} &= \frac{1}{\beta} \quad \left[\frac{N}{m^2}\right] \\ \text{Kompr. der Flüssigkeit} \, \Delta V_{Fl} &= A \Delta l = V_0 \frac{\Delta p}{E_{Fl}} \\ \text{Kompr. der Lufteinschlüsse} \, \Delta V_L &= \frac{V_{L,0}}{p_0} \frac{1}{\kappa}\Delta p \\ \text{El. der Rohrwandung} \, \Delta V_R &= V_0 \frac{\Delta p}{E_R}\frac{d}{s} \\ \Rightarrow \text{Ersatz-Komp.-modul} \, E_{Fl}' &= \frac{V_0 \Delta p}{\Delta V_{Fl}+\Delta V_R+\Delta V_L} \\ &= 1 \left/ \left[ \frac{1}{E_{Fl}}\left( 1+\frac{E_{Fl}}{E_R}\frac{d}{s}\right) +\frac{\Delta V_L}{V_0 \Delta p}\right] \right. \end{align} \)
      - Hydraulische Kapazität
        gibt die Volumenänderung bei einer Druckveränderung an:
        \( C_H = \frac{Q}{\dot p} = -\frac{dV}{dp}=\frac{V_0}{E_{Fl}'} \quad \left[\frac{m^5}{N}\right] \\ \Leftrightarrow p=\frac{1}{C_H} \int Q \, dt\)
      - Hydraulische Induktivität
        strebt einen konstanten Volumenstrom Q an (Wasserhammer)
        \( L_H= \frac{\Delta p}{\dot Q} \quad \left[\frac{kg}{m^4}\right] \)
        
        Hydraulische Induktivität eines Hydromotors
        Für den Motor gilt \( M=I_M \dot\omega = \frac{V}{2\pi} \Delta p \)
        Für den Massenstrom gilt \( Q = \frac{V}{2\pi} \omega \) und daraus folgt \( \frac{V}{2\pi} \Delta p=I_M \frac{2\pi\dot Q}{V} \)
        Für die Induktivität des Motors gilt somit \( L_M = \frac{I_M}{\left( \frac{V}{2\pi} \right)^2} \)
  - - - Für die äußeren Kräfte gilt also \( ma=m\frac{dv}{dt}=Ap-A\left( p+\frac{\partial p}{\partial x} dx\right) \) mit \( m=\rho Adx \) und der substantiellen Ableitung \( \frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{dx}{dt} = \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}v \).
        Daraus erhält man \( \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}v=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \) und mit der Abschätzung der Strömungsgeschwindigkeit \( \frac{dx}{dt} \ll \frac{\partial x}{\partial t}=c \) (Schallgeschw.)
        \( \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \)
        bzw. \( \frac{\partial Q}{\partial t}=-\frac{A}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \)
      - Die Kompression des Flüssigkeitelements durch das Geschwindigkeitsgefälle resultiert in \( dV=A\left( v+\frac{\partial v}{\partial x}dx\right) dt-Av\,dt \) und mit \( dV=-\frac{V}{E_{Fl}'}dp=-\frac{A\,dx}{E_{Fl}'}dp \) folgt \( \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{E_{Fl}'}\frac{dp}{dt} \) .
        Mit der substantiellen Ableitung \( \require{cancel} \frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{dx}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t}+\cancelto{0 \,\text{für}\, v \ll c}{\frac{\partial p}{\partial x}v} \) erhält man
        \( \frac{\partial p}{\partial t}=-E_{Fl}'\frac{\partial v}{\partial x} \), oder mit \( \partial v=\frac{\partial Q}{A} \)
        \( \Rightarrow \frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{E_{Fl}'}{A}\frac{\partial Q}{\partial x} \)
    - - Der dabei entstehende Druckstoß (Joukowsky-Stoß) beträgt \( \Delta p=Z_L \Delta Q = \rho c \Delta v \)
      - Beim langsamen Schließen vermindert die am Rohranfang reduzierte Welle den Druckstoß. Es gilt \( t_{Krit}=\frac{2l}{c} \) (2x Rohrdurchlauf) und \( \Delta p=\beta \rho c \Delta v \)