Fluidtechnik

1. Grundlagen

Aufteilung in flüssige und gasförmige Medien

Hydrostatik und Hydraulik

Hydrodynamik

Nicht bestandteil dieses Fachs

Pneumatik

Komponenten und Bauteile siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Schaltzeichen_(Fluidtechnik)

Bewertung

Vorteile

  • Hohe Leistungsdichte
  • Geringes Leichtungsgewicht ⇒ Hohe Beschleunigungen
  • Einfache Realisierung von Linearbewegungen
  • Gute Steuer- und Regelbarkeit
  • Einfache und zuverlässige Absicherung gegen Überlastung
  • Gute Schmierung und Abfuhr von Verlustwärme
  • Gutes Zeitverhalten durch niedrige Massenträgheiten

Nachteile

  • Energieverbauch durch Reibung und interne Leckage
  • Wartung des Druckmediums wegen Schmutzempfindlichkeit und Verschleiß der Komponenten
  • Umweltlastung durch Geräuschabstrahlung, Leckage und Feuergefährdung
  • Teuer, geringer Wirkungsgrad

Formeln und Formelzeichen

Hydrostatik

Einsatzgebiete

Stationärhydraulik

Mobilhydraulik

Flughydraulik

Werkzeugmaschinen
Fördermaschinen
Bau- und Baustoffmaschinen

Landmaschinen
Straßenfahrzeugbau
Sondermaschinen

Luft-und Raumfahrt


Verdrängermaschine

\( \begin{align} \mathrm{Drehmoment}\, M & = \frac{d}{2} \cdot A \cdot \Delta p \\ & = \frac{V}{2\pi} \cdot \Delta p \\ \mathrm{Leistung}\, P & = M \cdot \omega \\ & = Q \cdot \Delta p \\ \mathrm{Volumenstrom}\, Q & = V \cdot n \\ \mathrm{Wirkungsgrad}\, \eta & = \frac{P_{ab}}{P_{zu}} \end{align} \)



Hydrostatische Presse

\( \begin{align} \mathrm{Druck}\, & p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \\ \mathrm{Volumenstrom}\, & Q = \dot x \cdot A \\ \mathrm{Leistung}\, & P = p \cdot Q \\ \\ 1 \ \mathrm{bar} = 10^5 \ \mathrm{Pa} & = 10^5 \ \mathrm{N/m^2} \end{align} \)


Hydrodynamik

Hydraulische Widerstände

Hydraulische Netzwerke

Flüssigkeitssäule als homogener Schwinger

Massenerhaltungsgesetz

\( 0 = \int_A \rho \vec v_n \, dA + \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV \)


und Kontinuitätsgleichung \( Q = v_1 A_1 = v_2 A_2 \)



Impulserhaltungsgesetz

\( \begin{align} \text{Impuls} \, I &= \sum m_i \cdot v_i \\ \sum \vec F_{sys} &= \frac{d}{dt} \vec I = \frac{d}{dt} \int_{sys} \vec v \rho \, dV \\ \sum \vec F_{ext,KV} &= \frac{\partial}{\partial t} \int_{KV} \vec v \rho \, dV + \int_{KF} \vec v \rho (\vec v \cdot \vec n) \, dA \\ &= \vec F_{Druck} + \vec F_{Reib} + \vec F_{Gew} + \vec F_{ext} \\ \text{Impulssatz} \, 0 & =\dot I_{zu} - \dot I_{ab} + \sum F_{äußere} \end{align} \)



Die zeitliche Änderung des Impulses eines Systems ist gleich der Summe der wirksamen äußeren Kräfte

Anwendung des Gesetzes auf ein Kontrollvolumen KV

Energieerhaltungsgesetz

für eindimensionale, reibungsfreie, inkompressible Strömung
\( \text{Euler'sche Gleichung} \, \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial p}{\partial l} + g \frac{\partial z}{\partial l} + \frac{\partial}{\partial l} \left( \frac{v^2}{2} \right) = 0 \)
\( \text{Bernoulli'sche Gleichung} \, p + \rho g z + \rho \frac{v^2}{2} = const. \)



Viskosität

\( \begin{align} \text{Schubspannung} \, &\tau = \eta \frac{d\dot x}{dy} &\\ \text{Dynamische Viskosität} \, &\eta = \rho \nu &\left[\frac{Ns}{m^2}\right] \\ \text{Kinematische Viskosität} \, &\nu &\left[\frac{mm^2}{s}\right] \end{align} \)



Reynoldszahl

\( Re = \frac{\text{Trägheitskräfte}}{\text{Zähigkeitskräfte}}=\frac{\rho \dot x^2}{\eta \dot x / d} = \frac{\rho \dot x d}{\eta} = \frac{\dot x D_H}{\nu} \\ \text{mit dem hydraulischen Durchmesser} \, D_H = \frac{4A}{U} \)

Widerstand von Rohrleitungen

Laminare Strömung in einem glatten Rohr
Integration des
KGGW am Flüssigkeitsteilchen \( \tau \cdot 2\pi y l = (p_1-p_2) \pi y^2 \)
mit der
Schubspannung am Zylindermantel \( \tau = -\eta \frac{d\dot x}{dy} \)
liefert die
Geschwindigkeitsverteilung \( \dot x = \frac{p_1 - p_2}{4\eta l} (r^2-y^2) \)

Integriert man die Geschwindigkeitsvertilung über den Querschnitt erhält man den
Volumenstrom \( Q = \frac{\pi r^4}{8 \eta l} (p_1-p_2) \)
und daraus folgend den
hydraulischen Widerstand \( R_H = \frac{\Delta p}{Q} = \frac{8 \eta l}{\pi r^4} \)
(Hagen-Poiseuille-Gesetz für laminare Strömung)

Formelsammlung

Laminare Strömung im rechteckigen Spalt

mit Randbedingungen \( l > 100 h; \quad b >>h \)
Volumenstrom \( Q = 2 \cdot \int_{y=0}^{y=h/2} \dot x \, dA = \frac{b h^3}{12 \eta l} (p_1- p_2)\)
Hydraulischer Widerstand \( R_H = \frac{12 \eta l}{b h^3} \)

Volumenstrom durch einen exzentrischen Dichtspalt

\( Q = \frac{d \pi \Delta r^3}{12 \eta l}\left[1+1,5\left(\frac{e}{\Delta r}\right)^2 \right] (p_1 - p_2) \)

Stationäre Strömung durch eine Blende

mit den Positionen 0 als Blende, 1 davor, 2 danach und 3 kurz hinter Blende bei der größten Strömungsbündelung
Geschwindigkeit \( v_3 = \sqrt{\frac{2 \Delta p'}{\rho}} \) mit \( \Delta p' = p_1- p_3 \)
Volumenstrom \( Q = A_3 \sqrt{\frac{2 \Delta p'}{\rho}} \)
Volumenstrom mit Durchflusskoeffizient \( \alpha_D \) \( Q=\alpha_D A_0 \sqrt\frac{2 \Delta p}{\rho} \) mit \( \Delta p = p_1 - p_2 \)

Ausbildung der laminaren Strömung

Propfenströmung mit konstanter Geschwindigkeit über den Querschnitt \( Q = vA \)
voll ausgebildete Strömung \( Q = \int_0^r v(r) \, dA \)
laminare Anlaufstrecke \( l_{An} \approx d \cdot 0,058 \, Re \)

Durchflussgesetz für Blende und Drossel

Trägt man den Volumenstrom über die Druckdifferenz auf ergibt sich für die Drossel ein linearer Verlauf, für die Blende ein höherer, wurzelförmiger Verlauf der bei einer bestimmten Druckdifferenz den Verlauf der Drossel schneidet.
Blende \( Q = \alpha_D A \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}} \)
Drossel \( Q = \frac{\pi r^4}{8 \eta l}\Delta p \)

Druckverluste in hydraulischen Kreisläufen

Druckverlust in Rohrleitungen (nach Blasius) \( \Delta p_R = \sum \lambda \frac{l}{d} \frac{\rho}{2} v^2 \) mit der \( \lambda \)-Widerstandszahl
Druckverluste in Formstücken (Krümmer, Abzweigung etc) \( \Delta p_F = \sum_i \xi_i \frac{\rho}{2} v_i^2 \) mit dem \( \xi \)-Beiwert

Die Widerstandszahl ist bei laminarer Strömung nur von der Reynoldszahl abhängig \( \lambda = 64/Re \).
Für turbulente Strömungen nähert sich die Widerstandszahl für hohe Verhältnisse von Rohrradius zu Wanderhebung an \( \lambda = 0,3164/Re^{0,25} \) an.

Berechnung des Rohrwiderstands nach Blasius

Gegeben: \( \Delta p \), gesucht: \( Q \)

  1. Startwert für \( \lambda \) schätzen
  2. Strömungsgeschwindigkeit berechnen
  3. Reynoldszahl berechnen
  4. \( \lambda \) neu bestimmen
    4.1. Bei Bedarf mit neuem \( \lambda \) wiederholen
  5. \( Q \)

Gegeben: \( Q \), gesucht: \( \Delta p \)

  1. Strömungsgeschwindigkeit berechnen
  2. Reynoldszahl berechnen
  3. \( \lambda \) bestimmen
  4. \( \Delta p \)

Stellt man den Druckverlust einer Blende nach der Geschwindigkeit um und vergleicht diese mit der Blendengleichung nach der Geschwindigkeit umgestellt folgt \( \alpha_D = \sqrt{1/\xi} \)

Druckverlust bei Querschnittserweiterung / -verengung

Über den Impulssatz und die Kontinuitätsgleichung erhält man die
Druckdifferenz mit Verlusten \( \Delta p_{mV}=p_2-p_1=\rho \dot x_2 (\dot x_1-\dot x_2) \)
bzw. die
Druckdifferenz ohne Verluste \( \Delta p_{oV}=p_2^*-p_1=\frac{\rho}{2}(\dot x_1^2-\dot x_2^2) \)
für die Querschnittserweiterung gilt der
Stoßverlust durch Verwirbelung \( \Delta p_{SV}=\Delta p_{oV}-\Delta p_{mV}=p_2^*-p_2 \)
und außerdem der
Widerstandsbeiwert \( \xi=\frac{\Delta p_{SV}}{\rho/2 \cdot \dot x_2^2}=\left(\frac{A_2}{A_1}-1\right)^2 \)
Für die Querschnittsverengung gilt stattdessen der
Kennwert \( \alpha_K = \frac{A_1'}{A_2}=\frac{\dot x_2}{\dot x_1} \)
und der Druckverlust \( \Delta p_V=\Delta p_{oV}-\Delta p_{mV}=\frac{\rho}{2}\dot x_2^2\left(\frac{1}{\alpha_K}-1\right)^2 \)
und Widerstandsbeiwert \( \xi=\frac{\Delta p_V}{\rho/2 \cdot \dot x_2^2}=\left(\frac{1}{\alpha_K}-1\right)^2 \)

Gesetz von Blasius

Wie der Satz von Bernoulli, nur mit Verlusten.
\( \text{Bernoulli}_1-\text{Bernoulli}_2=\sum\Delta p_{Verlust} \)

Hydraulische Netzwerke sind vergleichbar zu elektrotechnischen Schaltungen:

  • Hydraulischer Widerstand \( R_H=\frac{\Delta p}{Q} \)
  • Hydraulische Kapazität \( C_H = \frac{Q}{\dot p} \)
  • Hydraulische Induktivität \( L_H = \frac{\Delta p}{\dot Q} \)

Kennwerte

Der Kompressionsmodul gibt an wieviel Kraft nötig ist um ein Fluid um ein bestimmtes Volumen zu komprimieren. Lufteinschlüsse veringert den Modul stark.
Der Ersatzkompressionsmodul berücksichtigt die Kompressebilität des Fluids und die Elastizität der umgebenden Bauteile
\( \begin{align} \text{Kompressionsmodul} \, E_{Fl} &= \frac{1}{\beta} \quad \left[\frac{N}{m^2}\right] \\ \text{Kompr. der Flüssigkeit} \, \Delta V_{Fl} &= A \Delta l = V_0 \frac{\Delta p}{E_{Fl}} \\ \text{Kompr. der Lufteinschlüsse} \, \Delta V_L &= \frac{V_{L,0}}{p_0} \frac{1}{\kappa}\Delta p \\ \text{El. der Rohrwandung} \, \Delta V_R &= V_0 \frac{\Delta p}{E_R}\frac{d}{s} \\ \Rightarrow \text{Ersatz-Komp.-modul} \, E_{Fl}' &= \frac{V_0 \Delta p}{\Delta V_{Fl}+\Delta V_R+\Delta V_L} \\ &= 1 \left/ \left[ \frac{1}{E_{Fl}}\left( 1+\frac{E_{Fl}}{E_R}\frac{d}{s}\right) +\frac{\Delta V_L}{V_0 \Delta p}\right] \right. \end{align} \)

Hydraulische Kapazität

gibt die Volumenänderung bei einer Druckveränderung an:
\( C_H = \frac{Q}{\dot p} = -\frac{dV}{dp}=\frac{V_0}{E_{Fl}'} \quad \left[\frac{m^5}{N}\right] \\ \Leftrightarrow p=\frac{1}{C_H} \int Q \, dt\)

Hydraulische Induktivität

strebt einen konstanten Volumenstrom Q an (Wasserhammer)
\( L_H= \frac{\Delta p}{\dot Q} \quad \left[\frac{kg}{m^4}\right] \)

Hydraulische Induktivität eines Hydromotors

Für den Motor gilt \( M=I_M \dot\omega = \frac{V}{2\pi} \Delta p \)
Für den Massenstrom gilt \( Q = \frac{V}{2\pi} \omega \) und daraus folgt \( \frac{V}{2\pi} \Delta p=I_M \frac{2\pi\dot Q}{V} \)
Für die Induktivität des Motors gilt somit \( L_M = \frac{I_M}{\left( \frac{V}{2\pi} \right)^2} \)

Druckaufbaugleichung

\( \ddot p + \underbrace{\frac{1}{R_H C_H}}_{2\delta} \dot p + \underbrace{\frac{1}{C_H L_H}}_{\omega_0^2} p = 0 \)
mit der
\( \begin{align} \text{Eigenkreisfrequenz} \, \omega_0 &= \sqrt{\frac{1}{L_H C_H}} \\ \text{Dämpfung} \, D_H &= \frac{\delta}{\omega_0} = \frac{1}{2R_H} \sqrt{\frac{L_H}{C_H}} \\ \text{Gedämpfte EKFreq} \, \omega_d &= \sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\\ \frac{1}{T} &= n = \frac{\omega}{2\pi} \end{align} \)

Auf ein infinitesimales Teilchen einer Flüssigkeitssäule der größe \( dx \) mit Dichte \( \rho \) und Elastizität \( E \) wirken die Kräfte \( p \) bzw. \( p+\frac{\partial p}{\partial x}dx \) und es besitzt die Geschwindigkeiten \( v \) bzw. \( v+\frac{\partial v}{\partial x}dx \) am linken bzw. rechten Rand.

Für die äußeren Kräfte gilt also \( ma=m\frac{dv}{dt}=Ap-A\left( p+\frac{\partial p}{\partial x} dx\right) \) mit \( m=\rho Adx \) und der substantiellen Ableitung \( \frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{dx}{dt} = \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}v \).
Daraus erhält man \( \frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}v=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \) und mit der Abschätzung der Strömungsgeschwindigkeit \( \frac{dx}{dt} \ll \frac{\partial x}{\partial t}=c \) (Schallgeschw.)
\( \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \)
bzw. \( \frac{\partial Q}{\partial t}=-\frac{A}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \)

Die Kompression des Flüssigkeitelements durch das Geschwindigkeitsgefälle resultiert in \( dV=A\left( v+\frac{\partial v}{\partial x}dx\right) dt-Av\,dt \) und mit \( dV=-\frac{V}{E_{Fl}'}dp=-\frac{A\,dx}{E_{Fl}'}dp \) folgt \( \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{E_{Fl}'}\frac{dp}{dt} \) .
Mit der substantiellen Ableitung \( \require{cancel} \frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{dx}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t}+\cancelto{0 \,\text{für}\, v \ll c}{\frac{\partial p}{\partial x}v} \) erhält man
\( \frac{\partial p}{\partial t}=-E_{Fl}'\frac{\partial v}{\partial x} \), oder mit \( \partial v=\frac{\partial Q}{A} \)
\( \Rightarrow \frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{E_{Fl}'}{A}\frac{\partial Q}{\partial x} \)

Charakteristische Impedanz

Die Amplituden der Wellen \( \hat p \) und \( \hat Q \) unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor \( Z_L = \frac{\hat p}{\hat Q}\).

Wellenausbreitungsgeschwindigkeit

Auch Schallgeschwindigkeit \( c=\frac{\partial x}{\partial t}=\sqrt{\frac{E_{Fl}'}{\rho}} \)

Eingangswiderstand einer Rohrleitung

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Druckstoß in Rohrleitungen

Wird ein durchflossenes Rohr verschlossen entsteht ein Druckstoß. Das Verhältnis der kritischen Schließzeit zur tatsächlichen Schließzeit wird mit \( \beta=\frac{t_{Krit}}{t_{Schl}} \) bezeichnet, beträgt aber auch bei kürzeren Schließzeiten immer höchstens 1

Der dabei entstehende Druckstoß (Joukowsky-Stoß) beträgt \( \Delta p=Z_L \Delta Q = \rho c \Delta v \)

Beim langsamen Schließen vermindert die am Rohranfang reduzierte Welle den Druckstoß. Es gilt \( t_{Krit}=\frac{2l}{c} \) (2x Rohrdurchlauf) und \( \Delta p=\beta \rho c \Delta v \)

Reflexion einer Druckwelle

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