CALCULO

A( r ) = π r^2

FUNCIÓN

SUCESIONES Y SERIES

LIMITES

el limite de una funcion
se escribe: Lim f(x)=L

Sucesión

Es una regla que asigna a cada elemento de
un conjunto A un elemento del conjunto B.

Tipo

Dominio

Rango

Son todas las posibles entradas
para la función.

Conjunto de todos los valores que puede tomar x.

Es una lista de números infinitos.

Recursiva

Geométrica

Sólo se necesita:

Se multiplica a y r

Aritmética

En la cual, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.

Formas de representarla

Verbal

Algebraica

Visual

Numérica

f(x)=x^2+4

Conjunto de todas las entradas para la función

SERIES INFINITAS

Son la suma de una lista de números infinita.

CONVERGE

DIVERGE

Es cuando a medida que avanza la suma de todos los números, se va acercando cada vez mas a un numero finito. Es decir, la constante es menor que 1.

Se dice que la serie infinita diverge cuando no converge. Es decir, la constante es mayor o igual que uno.

SERIE GEOMÉTRICA INFINITA

Podemos hacer la suma infinita si la serie converge

Debemos conocer la razón común (constante de multiplicación) y el primer termino de la serie.

Al conocer esos datos se divide el primer termino entre 1 menos la razón común.( a/1-r).

Investiga el comportamiento de la función

Describiendo la función con palabras.

Con una formula explicita.

A través de una gráfica en el plano cartesiano.

Por medio de una tabla de valores.

Donde en el eje x va el valor que x toma en la función y en el eje y van las imagenes del elemento x.

Función Lineal

Es cuando la gráfica de la función es de la forma y=mx + b , es decir, representa una recta y su punto de intersección.

Función Constante

Es cuando la imagen del elemento x siempre es un mismo elemento. f(x)= b

Prueba de la Recta Vertical

Es un método por el cual se puede conocer si una representación en el plano es realmente una función o no.

Consiste en trazar una linea recta vertical a traves de la gráfica.

La gráfica sera la gráfica de una función solo si la recta vertical corta en un solo punto a la gráfica.

Función Creciente

Es cuando la gráfica de la función sube.

Función Decreciente

Es cuando la gráfica de la función baja.

Rápidez del Cambio Constante

Solo las funciones lineales lo tienen

se dice que el limite de f(x), cuando x se aproxima (a) es L

limites que no existen

se puede explicar por medio de tres ejemplos

una función que oscila

una función con asíntota vertical

una función con un salto

Sustituir la variable independiente por el valor real al que la x tiende.

Función Cuadrática

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Su fórmula general f(x) = ax² + bx +c

Para calcular el rango de una función

Se halla el dominio de su función inversa.

Una función no existirá cuando para los valores de x que provoquen los siguientes casos

Cuando un número quede dividido entre 0

Cuando el contenido de una raíz de índice par es un número negativo

Cuando el contenido de un logaritmo es 0 o un número negativo

El promedio de rapidez se puede calcular usando notación de funciones.

Se designa como Dom f

para calcular el dominio de una función racional

debemos encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R

limites unilaterales

Es un valor al que tiende una función conforme los valores de x tienden al limite

El término función se utiliza también cuando el condominio son valores numéricos, reales o complejos.

Limites unilateral por la derecha

Limite unilateral por la izquierda

Cuando x se aproxima a (a) por la derecha es L y se escribe:

limx→a+f(x)=L

Cuando se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe:

limx→a−f(x)=L

Ejemplo

sea la función f(x) = 1/x.

Cada numero ocupa una posición y recibe el nombre de TÉRMINO

El término que ocupa la posición "n" se denomina término general o termino n-ésimo

Creciente y decreciente

Es CRECIENTE cuando cada termino es mayor que el anterior

Esto ocurre cuando la diferencia es positiva d>0

Es DECRECIENTE cuando cada termino es menor que el anterior

Esto ocurre cuando la diferencia es negativa d<0

Para calcular cualquier término de las sucesiones

cuando en la gráfica llega el punto mas alto se considera punto MAX

cuando en la gráfica llega el punto mas bajo se considera MIN.

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Suma con notación sigma (Σ)

primero se halla f(a) y pueden suceder tres casos

Es necesario:

Último Término

K, primer término

Suma parcial

f(a) tiene el mismo valor

Se necesita:

Primer término

Diferencia común

Es necesario

No podemos hallar f(a) , bien porque f(x) no tiene imagen en el punto x = a, o porque nos da un valor indeterminado.

Primer término

Razón común

f(a) nos da un valor infinito.

EJEMPLO 1:

Hallar el límite en el punto x = 2 de la función y = x² +1

Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f(2) = 5.

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Son todas las posibles salidas para la función

Suma Parcial

Es una función cuyo dominio es el conjunto de numeros naturales

Se necesita:

a, primer término

r, razón común

Dos primeros términos

Se representa como S1

Para hallar los siguientes terminos

Sn: n-ésima suma parical

El n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado por:

Su fórmula es:

an=a1*r^n-1

Entre dos puntos de la función es la pendiente de la recta de la función.

Importante: Escribir el dominio de una función involucra el uso tanto de corchetes "[,]" como de paréntesis "(,)"

Su fórmula es:

Usas un corchete cuando el número está incluido en el dominio y usas un paréntesis cuando el dominio no incluye el número.

a(n)=a+(n-1)d

Importante: La forma más fácil de identificar el rango de otras funciones, como las funciones de raíz cuadrada y de fracciones, es:

Dibujar el gráfico de la función usando una calculadora gráfica.

Se representan en letras como f,g,h...

Una función F es el conjunto de todas las posibles entradas se llama Dominio. y el conjunto de todas las posibles salidas se llama el Rango.

an=ar(n-1)

Entonces la fórmula es: S=a/(1-r)

¿Como graficar una función?

Cuando la entrada (variable independiente) y la salida (variable dependiente) son números reales, una función puede representarse en una gráfica de coordenadas. La entrada se gráfica en el eje x y la salida se gráfica en el eje y.

Es n1

Se representa con la letra "d"

Por ejemplo si la función es Y=X^2, algunos de los pares ordenados serian. (0,0), (2,2), (1,1/2), (-2,2)

Ejemplo

ejemplo

inducción matemática

Ejemplo

La función H esta definida por

Para esto también necesitamos hacer la tabla de valores para hallar los números asignados que van en el eje X y en el eje Y

razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable que toma una infinidad de valores enteros. cabe aclarar que también se halla con la suma de :

Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H1t2 se aproxima a 0. Cuando t se aproxima a 0 por la derecha, H1t2 se aproxima a 1. No hay número al que H1t2 se aproxime cuando t se aproxima a 0. Por lo tanto, límt0 H1t2 no existe

Ejemplo

La funcion f(x)=sen(pi/x) no esta definida en 0. Evaluando la funcion para algunos pequeños valores de x tenemos

Sucesiones Geométricas

Con base en esto calcularíamos que

Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término an se obtiene multiplicando al término anterior an−1 a n − 1 por un número r llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por r y debe ser constante en toda la sucesión.

Sin embargo ocurre esto

Fórmulas de notación sigma

La lineas interrumpidas indican que los valores de sen oscilan entre 1 y -1 con frecuencia infinita cuando x se aproxima a 0. Como los valores de f(x) no se aproximan cuando x se aproxima a 0 este limite no existe.

Ejemplo

Cuando x se acerca a 0, x2 también se acerca a 0, y 1/x2 se hace muy grande, en realidad parece en la gráfica que los valores de f(x) no se aproximan a un numero, de modo que este limite no existe.

p(1) = la primera suma del numero impar

p(2)=la suma de los dos primeros números impares (2^2)

p(3) = a suma de los tres primeros números impares (3^2)

El n-esimo termino es impar, entonces, se puede decir que:

2n-1

Y mas presisamente

1+3+5+...+(2n-1)=n^2

" para convertir de Celsius a Fahrenheit, multiplicar la temperatura Celsius por 9/5, luego sumar 32." Relación entre escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit

una de las ecuaciones que se utilizan para hallarlas y una breve explicación es

La suma de los primeros n numeros impares es:

n^2

Esta propiedad la cumplen todos los números naturales

Si se muestra que P(1) es valida para n = 1

A( r ) = π r^2

Paso de inducción

Entonces si demostramos que P(k) es verdadera, entonces P(k+1) lo es tambien.

Se asume que P(k) es verdadera, se debe mostrar entonces que P(k+1) es verdadera.

Podemos demostrar que siempre que un enunciado es verdadero, entonces el siguiente es verdadero

Entonces

Si se puede demostrar que P(k) es verdadero

P(K+1) también se puede demostrar

Así que

Todos los números para P(n) son verdaderos al demostrarse que P(k) es verdadero

Al realizar los pasos de la inducción matemática, la declaración P(n) se cumple para todo número natural n.

Se utilizan para hallar la rapidéz instantanea de cambio de una función

Principio de la introducción matematica

Para todo numero natural n, siendo P(n) un enunciado que depende de n.

Deben satisfacer dos condiciones

P(1) es verdadera

Para todo numero natural s, si P(s) es verdadero entonces P(s+1) es verdadero.

Suma de potencias

Esta dada por las siguientes formulas

n
Ʃ 1:n
k:1

n
Ʃ k: n(n +1)
k:1 2

Puede ocurrir que en un enunciado P(n) sea falso para los primero numeros naturales, pero verdadero apartir de algun numero en adelante

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El razón común en una secuencia geométrica es el razón constante entre cualquier término y el término después de él. Por ejemplo, la secuencia geométrica {1, 3, 9, 27} tiene un razón común de 3

La suma de un número finito de términos en una serie infinita.

ejemplo

Dada la secuencia aritmética 9, 7, 5, 3,···. Para encontrar la diferencia común, reste cualquier término del término que le sigue

Una expresión de la forma a +b se denomina binomio.

El teorema de binomio

Primero buscamos algunos casos especiales

(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b2
(a+b)4 = a4+4a2b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

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Hay n + 1 términos, siendo el primero an y el ultimo es bn.

Patrones sencillos

La suma de los exponentes de a y b de cada termino n

Los exponentes de a disminuyen en 1 de termino, en tanto que los exponentes de b aumentan en 1.

Es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima (siendo n, entero positivo) de un binomio.