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CALCULO (FUNCIÓN (Una función no existirá cuando para los valores de x que…
CALCULO
FUNCIÓN
Es una regla que asigna a cada elemento de
un conjunto A un elemento del conjunto B.
Formas de representarla
Verbal
Algebraica
Visual
Numérica
Por medio de una tabla de valores.
A través de una gráfica en el plano cartesiano.
Donde en el eje x va el valor que x toma en la función y en el eje y van las imagenes del elemento x.
Función Linea
l
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Función Constante
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Prueba de la Recta Vertical
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Función Creciente
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Función Decreciente
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Función Cuadrática
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Con una formula explicita.
A( r ) = π r^2
Describiendo la función con palabras.
" para convertir de Celsius a Fahrenheit, multiplicar la temperatura Celsius por 9/5, luego sumar 32." Relación entre escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit
Tipo
Dominio
Son todas las posibles entradas
para la función.
Conjunto de todas las entradas para la función
Se designa como Dom f
para calcular el dominio de una función racional
debemos encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R
Importante: Escribir el dominio de una función involucra el uso tanto de corchetes "[,]" como de paréntesis "(,)"
Usas un corchete cuando el número está incluido en el dominio y usas un paréntesis cuando el dominio no incluye el número.
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Rango
Conjunto de todos los valores que puede tomar x.
Para calcular el rango de una función
Se halla el dominio de su función inversa.
Son todas las posibles salidas para la función
Importante: La forma más fácil de identificar el rango de otras funciones, como las funciones de raíz cuadrada y de fracciones, es:
Dibujar el gráfico de la función usando una calculadora gráfica.
¿Como graficar una función?
Cuando la entrada
(variable independiente)
y la salida
(variable dependiente)
son números reales, una función puede representarse en una gráfica de coordenadas. La entrada se gráfica en el eje x y la salida se gráfica en el eje y.
Por ejemplo si la función es Y=X^2, algunos de los pares ordenados serian. (0,0), (2,2), (1,1/2), (-2,2)
Para esto también necesitamos hacer la tabla de valores para hallar los números asignados que van en el eje X y en el eje Y
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f(x)=x^2+4
Una función no existirá cuando para los valores de x que provoquen los siguientes casos
Cuando un número quede dividido entre 0
Cuando el contenido de una raíz de índice par es un número negativo
Cuando el contenido de un logaritmo es 0 o un número negativo
El término función se utiliza también cuando el condominio son valores numéricos, reales o complejos.
Se representan en letras como f,g,h...
Una función F es el conjunto de todas las posibles entradas se llama Dominio. y el conjunto de todas las posibles salidas se llama el Rango.
LIMITES
el limite de una funcion
se escribe: Lim f(x)=L
Investiga el comportamiento de la función
se dice que el limite de f(x), cuando x se aproxima (a) es L
limites que no existen
se puede explicar por medio de tres ejemplos
una función que oscila
Ejemplo
La funcion f(x)=sen(pi/x) no esta definida en 0. Evaluando la funcion para algunos pequeños valores de x tenemos
Con base en esto calcularíamos que
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una función con asíntota vertical
Ejemplo
Cuando x se acerca a 0, x2 también se acerca a 0, y 1/x2 se hace muy grande, en realidad parece en la gráfica que los valores de f(x) no se aproximan a un numero, de modo que este limite no existe.
una función con un salto
Ejemplo
La función H esta definida por
Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H1t2 se aproxima a 0. Cuando t se aproxima a 0 por la derecha, H1t2 se aproxima a 1. No hay número al que H1t2 se aproxime cuando t se aproxima a 0. Por lo tanto, límt0 H1t2 no existe
Sustituir la variable independiente por el valor real al que la x tiende.
limites unilaterales
Es un valor al que tiende una función conforme los valores de x tienden al limite
Limites unilateral por la derecha
Cuando x se aproxima a (a) por la derecha es L y se escribe:
limx→a+f(x)=L
Ejemplo
sea la función f(x) = 1/x.
Limite unilateral por la izquierda
Cuando se aproxima a a por la izquierda es L y se escribe:
limx→a−f(x)=L
Ejemplo
primero se halla f(a) y pueden suceder tres casos
f(a) tiene el mismo valor
No podemos hallar f(a) , bien porque f(x) no tiene imagen en el punto x = a, o porque nos da un valor indeterminado.
EJEMPLO 1:
Hallar el límite en el punto x = 2 de la función y = x² +1
Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f(2) = 5.
f(a) nos da un valor infinito.
Se utilizan para hallar la rapidéz instantanea de cambio de una función
inducción matemática
razonamiento que permite
demostrar
proposiciones que dependen de una variable que toma una infinidad de valores enteros. cabe aclarar que también se halla con la suma de :
p(1) = la primera suma del numero impar
p(2)=la suma de los dos primeros números impares (2^2)
p(3) = a suma de los tres primeros números impares (3^2)
El n-esimo termino es impar, entonces, se puede decir que:
2n-1
Y mas presisamente
1+3+5+...+(2n-1)=n^2
La suma de los primeros n numeros impares es:
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una de las ecuaciones que se utilizan para hallarlas y una breve explicación es
Esta propiedad la cumplen todos los números naturales
Si se muestra que P(1) es valida para n = 1
Entonces si demostramos que P(k) es verdadera, entonces P(k+1) lo es tambien.
Se asume que P(k) es verdadera, se debe mostrar entonces que P(k+1) es verdadera.
Al realizar los pasos de la inducción matemática, la declaración P(n) se cumple para todo número natural n.
Paso de inducción
Podemos demostrar que siempre que un enunciado es verdadero, entonces el siguiente es verdadero
Entonces
Si se puede demostrar que P(k) es verdadero
P(K+1) también se puede demostrar
Así que
Todos los números para P(n) son verdaderos al demostrarse que P(k) es verdadero
Principio de la introducción matematica
Para todo numero natural
n
, siendo P(
n
) un enunciado que depende de
n.
Deben satisfacer dos condiciones
P(1) es verdadera
Para todo numero natural s, si P(s) es verdadero entonces P(s+1) es verdadero.
Suma de potencias
Esta dada por las siguientes formulas
n
Ʃ
1:
n
k:1
n
Ʃ
k: n(n
+1)
k
:1 2
Puede ocurrir que en un enunciado P(n) sea falso para los primero numeros naturales, pero verdadero apartir de algun numero en adelante
SUCESIONES Y SERIES
Sucesión
Es una lista de números infinitos.
Cada numero ocupa una posición y recibe el nombre de TÉRMINO
El término que ocupa la posición "n" se denomina término general o termino n-ésimo
Para calcular cualquier término de las sucesiones
Es necesario
Primer término
Razón común
El razón común en una secuencia geométrica es el razón constante entre cualquier término y el término después de él. Por ejemplo, la secuencia geométrica {1, 3, 9, 27} tiene un razón común de 3
Recursiva
Sólo se necesita:
Dos primeros términos
Para hallar los siguientes terminos
Geométrica
Se multiplica a y r
Su fórmula es:
an=a1*r^n-1
SERIES INFINITAS
Son la suma de una lista de números infinita.
CONVERGE
Es cuando a medida que avanza la suma de todos los números, se va acercando cada vez mas a un numero finito. Es decir, la constante es menor que 1.
DIVERGE
Se dice que la serie infinita diverge cuando no converge. Es decir, la constante es mayor o igual que uno.
SERIE GEOMÉTRICA INFINITA
Podemos hacer la suma infinita si la serie converge
Debemos conocer la razón común (constante de multiplicación) y el primer termino de la serie.
Al conocer esos datos se divide el primer termino entre 1 menos la razón común.( a/1-r).
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Sucesiones Geométricas
Una sucesión geométrica
(o progresión geométrica)
es una sucesión en la que cada término an se obtiene multiplicando al término anterior an−1 a n − 1 por un número r llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por r y debe ser constante en toda la sucesión.
Suma Parcial
Se necesita:
a
, primer término
r
, razón común
Se representa como S1
Sn: n-ésima suma parical
El n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado por:
an=ar(n-1)
Aritmética
En la cual, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Suma con notación sigma
(Σ)
Es necesario:
Último Término
K
, primer término
Fórmulas de notación sigma
Suma parcial
Se necesita:
Primer término
Es n1
Diferencia común
Se representa con la letra "d"
ejemplo
Dada la secuencia aritmética 9, 7, 5, 3,···. Para encontrar la diferencia común, reste cualquier término del término que le sigue
La suma de un número finito de términos en una serie infinita.
Creciente y decreciente
Es CRECIENTE cuando cada termino es mayor que el anterior
Esto ocurre cuando la diferencia es positiva
d>0
Es DECRECIENTE cuando cada termino es menor que el anterior
Esto ocurre cuando la diferencia es negativa
d<0
Su fórmula es:
a(n)=a+(n-1)d
Es una función cuyo dominio es el conjunto de numeros naturales
El teorema de binomio
Una expresión de la forma
a +b
se denomina binomio.
Primero buscamos algunos casos especiales
Es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima (siendo n, entero positivo) de un binomio.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b2
(a+b)4 = a4+4a2b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Patrones sencillos
La suma de los exponentes de
a
y
b
de cada termino
n
Los exponentes de a disminuyen en 1 de termino, en tanto que los exponentes de b aumentan en 1.
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Hay n + 1 términos, siendo el primero a
n
y el ultimo es b
n
.
