Portfolio Risk Management 1/2

Portfolio Construction

5 Inputs for portfolio construction

Portfolio construction techniques: 效用最大化

**alphas(先朴素data --> 原始(加入自已預測 --> 精練Refine)

covariances(股票之間)

現有組合(已確定)

**Transactions costs: 雖然費用系rebalance時那一刻產生，但費用應該amortized在整個投資期限

**Active risk aversion(幫助做匹配客戶和經理人，監控組合風險)

Refining alphas

Motivation: 大部分active manager在組建組合時有很好限制(不能short； Cash的數量限制；一定流動性的要求)

  1. Scale: 確定alpha的取值范圍, alpha=volatility x IC x score標準分值
  1. Trim alpha outliers: 3個standard deviation 外就是outliers
  1. Neutralization: 好的benchmark的alpha應該為0, 中性化即recenter alpha去除基準alpha

Volatility= residual risk= alpha的standard deviation

IC= 真實同預期的相關性

Score=對原始預測做標準化正態分佈後的結果 N~(0,1)

**當Score x 常數IC 後，分佈變成 N {0, (Volatility x IC)^2 } 的正態分佈，可以確定取值范圍，可以去掉outliner

Standard deviation(alpha)=volatility x IC，interval of alpha=[0-sd x z，0+sd x z]-->算z查表 用total number x 表數= ?? alpha are out of range

Benchmark and cash neutral alpha: 選某大盤指數的alpha然後adjust alpha為0後，會影響各股alpha的預測，EX: A股調整後的alpha= A alpha - (A beta x 指數 alpha)

Risk Factor neutral alphas: 只包含預測到的因子information, 但因子是不可操控 (不考)

Determination of risk aversion

Specific factor risk: 對某特定風險更厭惡

Risk aversion (landa) = IR/2o

Utility (Value added) = alpha - landa x o^2 代IR公式= IR x o - landa x o = 0 ---------> IR = 2 x landa x o

Utility= alpha - (landa x o^2 + specific的landa x specific 的o^2

當客對某因子待別厭惡，會減少bets

當投資經理管理著多個portfolio, 特定因子厭惡會減少bet，當大家不能下bets, 可以幫助減少dispersion

revision & rebalancing : 在expected active return, active risk 和費用之間做權衡

當經理對自身能力不確定時，能減少revision

Rebalance時間小，預測時間越短，可獲得的signal越小，noise(干擾)會多

決家rebalance的衡量指標: Marginal contribution to value added 買賣股票可獲得邊際增加量MCVA= alpha - 2 x landa x o x MCAR

MCAR= marginal contribution to active risk 邊際風險

可以用費用同MCVA比較，引入 No trade region -Sell cost ≤ MCVA ≤ Purchases cost ---------->用MCVA公式代入就會得到alpha

Stratification: 分成多個mutually exclusive 版塊，在每個版塊中選最高的alpha，包含了所有行業

Linear programming: 有一系列限制，用線性來表達，就會得出一片可行區域 區域 "不需要" 是 mutually exclusive，用objective 函數同區域相切，就可以得到最優組合結構但同是可以進行risk control

Screen: 把資產alpha先排序--> 選最top的-->要分配權重(等權/市值）根據ranking分成buy, hold, sell，buy里沒有的買入，sell里有的賣出，hold 是有就hold--沒有就不管

Advantages

簡單，容易算和理解

原理清晰clear link，alpha 話就買，低就賣 所以可以令整體組合的alpha提高

is robust，即使對估計alpha不太準，都不會影響最後的結果

Disadvantages

只看alpha的排序，其它信息都忽略

排除天生低alpha的asset，只集中在高alpha的版塊的asset，分散化效果差

Risk control

包含足夠的stock並給予權種，避免集中在單個stock沒有量化考慮risk control 所以做不到utility最大化

用控制turnover 去limit transaction cost

分控做得不好

只解決了screen 的差分散化

Advantages: 可以包含all information，並對risk有量化考慮

Quadratic programming: 可以用二次的，而不一定非線性

Disadvantages

Advantages: 包含所有限制

當所有限制都apply時，100個股票可能只剩幾個。

risk-control要達到的特性同alpha是不一致，而且是只用用線性所以要對限制條件進行考量

Disadvantages: 需要很多input，多input = 多noise，對alpha有一些偏差就不robust

Dispersion: 由於基金經理有很多不同帳戶for不同客人，並且回報都不一樣, 不同客戶最大和最小的回報的差就是dispersion

Client-driven: 客戶限制而令到基金經理不能進行最優組合

Manager-driven: 太多客戶而導致attention不足

當transaction cost為 0，manager 導致的dispersion會消失，因為可以時時調整

Portfolio Risk: Analytical Methods

Portfolio VaR measures

Using VaR for risk management

Delta-normal model: 假設return是正態分佈

Traditional portfolio analysis/ covariance matrix approach: 需要variance & covariance

Individual dollar VaR: (E(R) - z x o) x 某資產市值，當E(R)=0時，VaR= z x o x Portfolio 市值 x 資產權重

95%: 1.645 99%: 2.326

Diversified VaR: z x o x 資合市值

portfolio variance: = w^2o^2 + w^2o^2 + 2wwoop

組合VaR= 開方(Var^2 + Var^2 + 2 VaR VaR p)

當p=0, VaRp = 開方(Var^2 + Var^2)

當p=1, VaRp = VaR + VaR

算出來都是dollar VaR

Diversified VaR 小於等於 Undiversified VaR (VaRs 總和)

當trading strategy 是 a long & a short, 如果long的correlation是正，要用負去算

Role of correlation op = o x 開方(1/N + (1-1/N) x p)

have same risk, same correlation, equal weight

當N是無限大，op= o x 開方(p)，，所以當p有一點小變化，o 會有大變化

**VaR tools

Component VaR: 把組合分成多個部分，部分VaR對整體分散化後VaR的貢獻

Marginal VaR (MVaR): 對某持倉量每增加$1所導致VaR會增加的值 用於rebalance，增加MVAR 小的資產，因為對整體組合影響不大

Incremental VaR: 增加一個新的資產到組合內而導致整體VaR的變化

forumula

Full Incremental VaR: 新組合VaR - 舊組合VaR

缺點: 當組合很複雜時，做full revaluation會很耗時，很可能錯過一個很好的交易

Incremental VaR 約等 MVaR x amount，約等是因為MVaR是會變的

CVaR= MVaR x Asset Value = MVaR x wi x Vp = VaR x betai x wi

貢獻的% : CVaR / VaR = wi x betai CVaR的總和=組合VaR

當組合達到global minimum, 所有的MVaR 和beta 都相等，因為沒法做決策

只考慮risk --> 目標是達到global minimum 增加低MVaR，減小高MVaR持倉

當考慮return & 風險 --> optimal portfolio Maximize Sharpe ratio

用ratio(R-Rf 除 MVaR)，增加高ratio，減少低ratio

當MVaR不變時，ratio是constant --> optimal portfolio

VaR and Risk Budgeting in Investment Management

Specific risk in Investment

Types of risk

policy-mix (passive strategy) vs. active-management

Funding vs Sponsor risk

Absolute (一段時間內損失的金額) vs. relative (有benchmark) 可以算 relativeVaR

大部分風險是因為policy mix

active-management 的VaR 是相對較細

police-mix 和 active-manage的VaR相加不是總VaR, 因為要考慮相關性

Funding risk: 資產不足以cover funding的負債

Sponsor 發起人風險--> 僱主

DB plan下僱主風險較大，由於僱主有法定負債，所以要用asset liability management ALM

當Asset大過liability的部分就是Surplus (liability = short 方的long-term bond)

Surplus: Asset-liability

R Surplus: delta Surplus / Asset == RA - RL(L/A)

delta Surplus: delta A - delta L = A x RA - L x RL

delta L = -Modur x delta y x P

if interest rate 是 declined : delta y 是負

Surplus at risk SaR: 可以看成long A, short L的組合

sigma Surplus: Formula

SaR: 預期(delta Surplus) - Z x sigma

預期delta Surplus = A金顛 x return率 - L金額 x return率

Economic risk: 整個外界經濟情況會影響利潤 (高profit, less surplus risk)

Cash-flow risk: 每年放入fund的錢都不同

VaR 在投資管理的應用

Risk budgeting: 由上而下，整體-->分配去不同資產類-->分配去不同經理

賣方Banks: 短期(過渡財富)，轉手率高，高桿杆，用VaR & Stress test，可以用limits去control risk *買方(資管機構): 時間長，低轉手率 & 桿杆，用資產配置&tracking error，用分散化,基準去控制risk

養老金的投資步驟

1: 定制長期策略資產配置(最優mean-variance組合，asset class)

2: 選基金經理 (用benchmark做業績評估，guidelines & restriction)

3: 機構投資者should benefit from 的VaR: 考慮了全球分散化， 較集中風險管理(因為越complex)，大部分投資組合是動態

4: Hedge fund 的問題: 高桿杆，透明度低，hedge之間的差異化(有些turnover很高，跟bank差不多)，非流動性資產的NAV不能後映近價，低估相關性&波動率

VaR 可以在不同分類中做資產分配，同做trading decisions

Monitor & Control risk

VaR 作為central repository 可以監控未經授權的投資 (政治宗教等的考量)

當VaR 有大幅度改變 (take更多風險，同時下相同bets，市場更波動) VaR 可以作為reverse engineered 反向工程 去分解風險 (component)

Global custodian: 集中化方法可以使用單一global custodian，可以直接有一個consolidated picture

Manage risk

Design guidelines: 只考慮notional本金&敏感度限制是不足夠，而VaR可以考慮更廣泛(分散化，相關性，桿杆等)

Across Asset Class: 單個資產VaR的加總 >= 組合VaR

Across Active Manager: 表現較好給較高risk budget

算Risk budget: 本金 x z x volatility

Keep risk budget: 考慮相關性要先算新的volatility (x權重) --> 總本金 x z x 新v

Weight Formula: 假設經理之間的deviation都是獨立

Relative risk budget: 本金 x TE x z