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Teoremi (Caselli (Determinate (Effetti dlle trasformazioni sul…

- - - - Sia Epsilon un autovalore di un endomorfismo allora
        
        1<=mg(epsilon)<=ma(epsilon)
    - - Se epsilon è un autovalore di un endomorfisomo allora è anche un pa radice del polinomio caratteristico
    - - date due matrici A,B
        
        det(A)det(B)=det(AB)
      - implicazioni
        
        1=det(I))=det(A)det(A-1)=det(AA-1)
        
        Posto A-1 come l'inversa della matrice a
        
        det(A)=det(A-1)
  - - - scambio righe
        
        Il determinante cambia di segno
      - se moltiplico una riga per uno scalare
        
        il determinante viene moltiplicato per quello scalare
      - se sommo una riga un multiplo scalare di un altra il determinante rimane invariato
  - - - Una matrice è diagonale se gli elementi che non stanno nella diagonale sono tutti nulli
      - Potremo dire che una matrice diagonale è una matrice triangolare superiore e inferiore contemporaneamente
    - - Superiore
        
        Se i coefficienti al disotto della diagonale sono tutti nulli
      - Inferiore
        
        Se i coefficienti al disopra della diagonale sono tutti nulli
  - - - Se rappresenta lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse
      - Date due metrici A, B , si dicono simili
        
        Se esite una matrice invertibile H tale per cui
        
        B= (H-1)A(H)
        
        Posto H-1 come l'inversa d H
    - - Un autovalore λ è uno scalare tale per cui
        
        F(v)= λ(v)
        
        se esiste questo legame, allora v è un autovettore di autovalore λ
    - - Pa(T) = det(AtI)
      - Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico
        
        Dimostrato
  - - - Posso fissare una base qualsiasi
        
        Posso esprimere un qualsiasi elemento del sottospazio come combinazione lineare della base
        
        i coefficenti che devo associare ad ogni elemento di una base per ottenere un certo vettore vengono indicate come coordinate rispetto alla base
        
        Si incivano con (α1,α2,α3,....,αn)B
        
        I vari scalari indicano quante volte devo prendere l'elemento i-esimo della base
      - Supponiamo di fissare 2 basi, B, C del sottospazio differenti tra loro
        
        ora prendiamo un vettore qualsiasi v appartenente al sottospazio di partenza
        
        posso certamente rappresentarlo come combinazione lineare di tutte e due le basi ma avtò delle coordinate diverse in base alla base in cui esprimo le coordinate
        
        avrò v=(α1,...,αn)B= (β1,...,βn)C
  - - - Un applicazione lineare F: U-> V
        
        è una funzione che associa gli elementi di U agli elementi di V
        
        questa è definita applicazione lineare se mantiene inalterate le proprietà che valgono all'interno dei sottospazi
        
        se mantiene la chiusura rispetto alla somma nei sottospazi
        
        F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
        
        Posti u1,u2 appartenenti a U
        
        se mantiene la chiusura rispetto al prodotto
        
        F(βu)= β F(u)
        
        posto u appatenente a U
        
        Queste due condizioni possono essere riassunte più generalmente in un unica condizione
        
        F(βu1+βu2) = β F(u1)+βF(u2)
        
        Per ogni u1,u2 appartenenti a U e β appartenente a R
    - - Dati due sottospazi vettoriali U,V, e dati dei vettori u1,u2,...,nk appartenenti a U e v1,v2..,vk appartenenti a V
        
        Se u1..uk generano U allora esiste al più un applicazione lineare F : U->V tale che F(u1)=v1....F(uk)=uk
        
        Se u1...,uk sono linearmente indipendenti esiste almeno un applicazione lineare F: U->V tale che F(u1)=v1...F(uk)=vk
        
        Se u1...uk sono una base di U allora esiste esattamente un applicazione lineare F:U -> V tale che F(u1)=v1...F(uk)=vk
        
        é l'unione delle due condizioni precedenti