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微積分 心智圖 三乙21林義舜 (應用 (商學, 物理學, 工程學, 微分學, 積分學), 積分 (定義 (積分是微分的反函數。微分與積分互為反運算…
微積分 心智圖 三乙21林義舜
應用
商學
物理學
工程學
微分學
積分學
積分
有範圍
定積分
沒範圍
不定積分
定義
積分是微分的反函數。微分與積分互為反運算,就像乘法是除法的反運算一般
積分是求面積的函數,也就是計算 f(x) 從 x=a 到 b 之間的面積
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念
積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出,稱為「黎曼積分」
通常分為定積分和不定積分兩種
公式
∫sec2 udu = tan u + C
∫csc2 udu = − cot u + C
∫sec u tan udu = sec u + C
∫csc u cot udu = − csc u + C
∫tan udu = − ln | cos u| + C = ln |sec u| + C
微分
定義
在數學中,微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。
函數 f(x) 在 x = a 處的切線斜率,稱為 f(x) 在 x = a 處的導數。
infinitesimal calculus,後來就直接用 Calculus 代表「微積分」了。
微積分的英文名稱為 Calculus,該詞原意是「計算法」的意思,就像資訊科學領域當中的「演算法」(Algorithm) 一樣,泛指所有可以計算的方法。
清朝數學家李善蘭將 Calculus 翻譯為「微積分」,很精確的抓到了 infinitesimal calculus 的意義,於是後來 Calculus 就被翻譯為「微積分」。
應用
速度
斜率
極大值
極小值
加速度
意義
微分的意義是函數 f(x) 在某個點 a 的切線之斜率,在微積分中通常寫成 f'(a),定義如下:f′(a)=limx→af(x+Δx)−f(x)Δx
切線可從兩個方向逼近,而且這兩個斜率在轉折點時會有所不同,因此正確的定義應該使用「左導數」與「右導數」這兩個概念。
左導數:f′(a)=limx→af(x)−f(x−Δx)Δx右導數:f′(a)=limx→af(x+Δx)−f(x)Δ
只有當左導數與右導數相同時,我們才能說 f'(a) 存在,此時我們說 f(x) 在 a 點可微分,其斜率為 f'(a)
如果我們將所有點微分後的斜率視為一個函數,那這些斜率所形成的曲線就稱為 f(x) 的微分函數 f'(x)。