Modelos de Probabilidad

Modelos de Probabilidad

p no cte

vars discs

vars conts

bipuntual

binomial # #

hipergeométrico #

poisson

normal

exponencial

población dicotomizada

dos categorías

mutuamente excluyentes

experimento Bernoulli

Ω = {E, F}

la que sea var al será 1; la otra, 0

p = P(E)

1-p = q = P(F)

fx de prob / cuantía

P(y) = (p^y) . (q^1-y) / 0,1

P(y) = 0 / otro valor

fx de distribución

E(Y) =p

repetición de #

características

reemplazo

n pruebas idénticas

p y q ctes

2 rtdos #

éxito

fracaso

var al

X : q de éxitos en n pruebas c/ reemplazo

X ∼ B (n,p)

también p/ poblaciones ∞

fx de prob

P(X = x, n, p) = C (x,n) . p^x . q^(n-x) / X=0,1,...n

P(X) = 0 / otro valor

V(Y) = p . (1-p) = p . q

fx de distribución

E(X) = n . p

F(u) = P (X ≤ u) =

X < 0

X > n

Σ (X=0, u) C (x,n) p^x . q^(n-x)

0 < X < n

V(X) = n . p . q

representación gráfica

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p=q

distribución simétrica

p < q

asimétrica der

p > q

asimétrica izq

s/ reemplazo

var al

X: q de éxitos, en n pruebas, s/ reemplazo

X ∼ H (n, K, N)

n = tamaño de la muestra s/ reemplazo

K = grupo éxito

X en muestra

N = totalidad de elementos

n en muestra

casos posibles

q de C tomando n els de N

casos favorables

q de C con x éxitos y n-x fracasos

C(K, x) . C(N-K, n-x) #

fx de prob

P (X = x,n,K,N) = (C(K, x) . C(N-K, n-x)) / C (N, n)

X = 0,1,2...mín(n,k)

P (X = x,n,K,N) = 0

otro caso

fx de distrib

F(u) = P (X ≤ u) =

X < 0

X > mín (K, n)

Σ (x=0, u) (C(K, x) . C(N-K, n-x)) / C (N, n)

X=0,1,2...mín(K,n)

p no cte

E(x) = n . K/N

V(x) = n .(K/N) . (N-K)/N . (N-n)/(N-1)

N-n/N-1 es factor de corrección p/ poblaciones finitas

éxitos en un intervalo de tiempo

características

estable

s/ memoria

proceso estocástico

ocurrencias son aleatorias e independientes

nro de éxitos constante

var al

X : q de éxitos en un intervalo de longitud fija

X ∼ P (µ)

λ es promedio de éxitos/ intervalo de t

dir prop al tamaño del itv h

µ = λh

límite #

muestra muy grande

nro de éxitos muy pequeño

fx de prob

P(X=x) = p(x) = (e^(-µ) . µ^(x)) / x! / X=0,1,2...

fx de distrib

P(X ≤ u) = Σ (x=0, u) (e^(-µ) . µ^(x)) / x!

E(X) = V(X) = µ

en el LP, λ queda especificado

tiende a ser simétrica

n → ∞

p → 0

fx prob

P (X=x) = p(x) = C(x,n) . p^x . q^(n-x) / X=0,1,...n

media µ=np, cte

lim pbin(x) = (e^(-µ) . µ^(x)) / x! #

proceso Poisson + var cont T

T = tiempo transcurrido entre dos éxitos

fx distrib

P(T > h) = P(X=0) = e ^(- λh)

P (T ≤ h) = F(h) = 1 - P(T > h) = 1- e ^(- λh)

λ es cte, en u mínima

fx dens/ prob

f(t) = λe^(- λt)

f(t) = 1/µ . e^(-t/µ)

fx acum

deriv F(t)

características

E(T) = 1/λ = µ

V(T) = 1/ λ^2 = µ^2

asimetría derecha que se atenúa

λ es E en Poisson

E = SD

prob de ocurrencia depende de duración

no de momento

Pacum h. media = 0.63

Mediana = 0.69 . E(T)

características

valor de mayor freq = moda = mediana = media

simétrica

dos parámetros

media

varianza

fx prob/dens

f(x) = e(^(x-µ)^2)/(2σ^2)) / √2π(σ^2)

X ∼ N(µ,(σ^2)

dos ptos de inflexión

fx dist

estandarizada

Z = X-µ / σ

prob

E(X) = µ

E(Z) = 0

V(X) = (σ^2)

V(Z) = 1