Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Дифференциальные уравнения (Уравнения высших порядков м1 (Решение…
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение
:pencil2:
Уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры.
Вид ДУ
Дифференциальная форма: f1(x) ⋅ ϕ1(y)dx + f2(x) ⋅ ϕ2(y)dy = 0
Общая форма
: f(xy)=p(x)h(y)
Алгоритм решения
Перенесем dx в правую часть разделим уравнение на h(y):
Запишем уравнение в виде: g(y)dy=p(x)dx
Проинтегрируем обе части уравнения, благодаря чему получим искомую функцию.
Замечания
Помни о том, что когда делим обе части уравнения на переменную величину, есть вероятность, что она обращается в ноль.
Произвольная постоянная может быть записана в виде kC или klnC,где k - произвольная постоянная
Уравнения высших порядков
Определение
Дифференциальным уравнением n-го порядка (n>1) называется уравнение вида:
, Здесь x – независимая переменная, y=y(x) – искомая функция, определенная и n раз дифференцируемая на промежутке (a; b)
Решение уравнений высших порядков
Имеет вид
Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она обращает это уравнение в тождество.
Понижение порядка в ДУ высших порядков
Некоторые уравнения допускают понижения порядка
Уравнения, не содержащие искомой функции y=y(x). Уравнения такого типа имеют вид:
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой,где z(x) – новая неизвестная функция
В результате получим уравнение
Если уравнение не содержит ни искомой функции y(x), ни ее производных до порядка (k-1) включительно:
Его порядок можно понизить на k единиц, сделав подстановку
Уравнения, не содержащие независимой переменной x. Подобные уравнения в общем случае имеют следующий вид:
Порядок такого дифференциального уравнения можно понизить на единицу заменой,где p(y) – новая искомая функция, при этом в качестве независимой переменной понимается переменная y, а не x.
Итак, после замены уравнение принимает вид:
После решения последнего уравнения относительно неизвестной функции p(y), делаем обратную замену
Записанное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, из которого определяется искомая функция y=y(x).
Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную:
для нахождения искомого решения y=y(x) функцию f(x) необходимо n раз проинтегрировать.
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
Алгоритм
Рассмотрим дифференциальное уравнение
, где n не равно 0 и не равно 1
Разделим его на y^n
Эта уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной
Это линейное уравнение. После его решения при n>0 следует рассмотреть случай y=0. При n>0 y=0 так же является решением уравнения и должно входить в ответ
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Методы решения
Метод введения двух переменных (Бернулли
Алгоритм решения
Выносим за скобки все элементы, которые возможно и приравниваем, то, что осталось в скобках к нулю: u′+ P(x) × v = 0
Решаем систему уравнений
Заменяем y = u × v.
Приводим уравнение к виду: (u′×v) + (u×v′) + P(x) × (u×v) = Q(x)
Подставляем найденные значения в
уравнение замены: y = u × v
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
Алгоритм решения
Приводим уравнение к виду:
Интегрируем
Ищем решение однородного уравнения:
y′ + p(x) ∙ y =0
Находим логарифм:
Делаем замену
Заменяем С на функцию: С = u(x)
получаем:
Находим производную:
Подставляем в исходное уравнение и интегрируем
Делаем обратную замену:
Определение
Линейное неоднородное дифференциальное первого порядка
имеет вид:
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение дифференциальная форма которого имеет вид:
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
Определение однородности
Функция f(x,y) называется однородной степени m, если:
Алгоритм решения
Интегрируем правую и левую части уравнения
Делаем обратную замену
Подставляя в уравнение y = x·u y ′ = u + x·u ′, получаем уравнение с разделяющимися переменными
Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой:
Системы дифференциальных уравнений
Виды систем ДУ
Однородные системы ДУ.
Определение
Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
Неоднородные системы ДУ.
Определение
Неоднородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
Определение
Совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные, называется системой дифференциальных уравнений.
Решение системы дифференциальных уравнений
Определение
Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций , удовлетворяющих каждому уравнению этой системы.
Решаем систему дифференциальных уравнений методом исключения.
Метод исключения
Суть метода
Привести нормальную линейную систему n уравнений к одному линейному уравнению n-го порядка.
Алгоритм решения системы ДУ.
6 more items...
Частное решением СДУ называется решение
,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Типы систем ДУ
Нормальная
Определение
Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной.
Ее решение составляет набор (или вектор) из функций, которые удовлетворяют все уравнения системы.
Каноничская
Определение
Система, которая может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, называется канонической
Задача Коши
Условие
Краевая задача
Задача интегрирования дифференциального уравнения называется краевой, если значения искомого решения – функции y=y(x) и, возможно, ее производных задаются при различных значениях независимой переменной, на концах некоторого фиксированного интервала.
Найти такое решение (функцию) y=y(x) дифференциального уравнения,чтобы эта функция и ее производные до порядка (n-1) включительно при заданном значении аргумента x=x0 принимали бы заданные значения.
Определения
:pencil2:
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=f(x) и её производные
Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.
Решение ДУ
Решение дифференциального уравнения, содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.
:red_flag:
Решение, полученное из общего при ф фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.
:red_flag:
Свойства ДУ
Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, благодаря постоянной С
При задании начальных условий существует такое значение С, при котором решением дифференциального уравнения является функция
,
