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Lineare Algebra (Darstellungs Matrizen (Spalten der Darstellungsmatrix =…
Lineare Algebra
Darstellungs Matrizen
Spalten der Darstellungsmatrix = Bilder der Basisvektor
Kompositum von linearen Abb = Matrixprodukt
用来刻画linear Abb的矩阵 和选定的Basis相关
如果Basis相同可以简写
有关Umkehrabbildung 详见P56
allgemeine lineare Gruppe（一些可逆矩阵的集合）
Spalten von S= Koordinatenvektoren der "neuen" Basisvektor
基的变更Basiswechselmatrix
aehnliche Matrix 和 aequivalente Matrix
Lineare Gleichungssystem
LGS的Def：A*x=b
inhomogen or homogen(看b是否为0）
Koeffizientenmatrix 和 erweiterte Koeffizientenmatrix
Zeilenstufenform 和 strengen Zeilenstufenform
高斯算法算Loesungsmenge
Rang
解的个数的判断：比较Koeffizientenmatrix 的Rang和erweiterte KoeffizientenMatrix的Rang
Determinanten
定义：行列式定义的式子 用sgn那个
性质
两行互换，行列式反号
有一行全为0则det=0
有两行成比例，det=0
有两行完全一致，det=0
转置矩阵det不遍
det（A
B）=det（A）
det（B）
相似矩阵的行列式相等
把一行同乘一个常数c，det=c*det
如果一行都是两个东西相加，可以拆成两个矩阵相加
计算
二阶的：det=a11
a22-a12
a21
三阶的：Sarrus-Regel 主对角线乘积的和减去次对角线的乘积的和
多阶的：行列式按行展开 注意符号
regulaer的另一种判断：det不为0
求逆矩阵的另外一种方法 见P66 P70
分块矩阵具体见P70
Diagonalmatrix
行列式值等于对角线乘积
obere Dreiecksmatrix
对角线上方为任意，对角线下方都为0，det=对角线的乘积
Block-Dreiecksgestalt 具体看P67
det（A）=det（B）*det（D）
矩阵的三种变化对det的影响
互换两行det反号
一行乘常数可以提出常数
乘以常数与其他行相加：
不改变行列式的值
Lineare Abbildung
Def
加法封闭，乘以标量封闭
kern
injektiv的线性映射的kern={0}
Bild
两个线性映射相加
常数*线性映射
复合线性映射
LA ist bijektiv dann Isomorphismus
dann Umkehrabbildung ist auch Isomorphismus
invertierbar(regulaer)针对quadratische Matrix
rg（A）=n
dim(V)=dim(Kern(φ))+dim(Bild(φ))
Rg(A)=Zeilenrang=Spaltenrang
dim(V)=dim(W),则以下三条等价
φ ist ein Isomorphismus
φ ist injektiv
φ ist bijektiv
lineare Fortsetzung
给定Basen之后LA唯一确定
Basen
Def
判断Basen：1.<s>=V 2.线性无关
性质
三条等价：1.S是Basis
2.S是最大线性无关组
3.S是最小的Erzeugendensystem
任意VR都有Basen
有穷的VR所有Basen的大小都是一样的
dim(V)=Basen的大小
dim和Basen的联系
dim(Loesungsmenge)=n-rg(A)
其余性质见P34
Basiserganzung
Vektorraeume
乘法封闭，加法封闭
Unterraum
证明Unterraum：1.加法封闭2.乘以标量封闭3.不为空
Loesungsmenge是Untervektorraum
其他是UR的例子见P21
两个UR的交是UR
两个UR相加是UR
所有UR的交集是UR
Erzeugte UR <s>:包含S的所有UR的交集
<s>是包含S的最小的UR
一个UR包含S则包含<S>
s=U1+U2 dann <s>=U1+U2
一些概念
C ist ein R-Vektorraum,R ist ein Q-Vektorraum
多项式K[x]
Nullfunktion
Lineare Codes
Def
Generatormatrix
codecort=generatormatrix*ingormationswort
Informationswort
linear Code:UR C
dim(C)=k
Codewort
k:=dim(C) (n,k)-Code
Laege von C ist n
Informationsrate ist k/n
Redundanz ist n-k
汉明
Hamming-Gewicht
Hamming-Abstand
d(c1,c2)
d(C)
d(C)=2e+1 dann C ist e-fehlerkorrigierend
d(C)=2e+2 dann C ist e-fehlerkorrigierend und (e+1)-fehlererkennend
Parity-Check-Code
奇偶校验矩阵可由生成矩阵得出
Syndrom
Fehlervektor
Bsp
（7,4）Hamming-Code
Bauer-Code
Matrizen
基本概念
矩阵的加法
矩阵相等
矩阵的数乘
矩阵的叉乘
矩阵的类型
quadratisch
symmetrisch
转置矩阵
单位矩阵
regulaer
inversebar
aehnlich
aequivalent
Linearkombination
Def和性质
Nullvektor 是空空间的Linearkombination
Vektor的LK就是此Vektor可以用其他向量表示
UR的LK就是Vektor可以用此UR里的向量表示
<S>是所有UR S的LK的集合
高斯前后的矩阵生成的UR是相同的
线性无关
线性无关的一种判断：n个向量作为列构成一个矩阵A，如果rg（A）=n，则线性无关
Komplexe Zahl
Eigenwerte
Google-Matrix und stochastische Matrizen
Symmetrische Matrix
Skalarprodukt
Anwendung in der Graphentheorie