Applicazioni Lineari
Cosa è un applicazione lineare
Immagine
Nucleo
Teorema delle dimensioni
E' un sottospazio
Dimostrazione
Pratica
Mostro che è un sistema lineare omogeneo, quindi è un sottospazio
Teorica
Dimostro che è chiuso rispetto alla somma al prodotto e contiene il vettore nullo
Sono gli elementi del dominio ai quali applicata l'immagine mi danno come risultato il vettore nullo nel codominio
Esempio
F(1,0,2) = 0,0,0
Sottoinsieme del codominio di tutti i possibili risultati che ottengo applicando l'applicazione lineare agli elementi del dominio
Ponendo dominio e codominio R3 possiamo dire che (1,0,2) nel dominio è un elemento del kernel
E' un sottospazio
Dimostrazione
Contiene il vettore nullo
F(0)= 0 sempre
Contiene il vettore nullo
Verifico la chiusura rispetto alla somma e al prodotto
Posso utilizzare anche la formula generale che include tutte e due le verifiche
Un insieme di generatori del dominio a cui applico l'applicazione genera l'immagine
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dim(KerF)+dim(ImF)= dim U
F: U -> V
dimostrazione
pragmatica
rigorosa
d= dim( KerF)
n= dim(U)
d è una certa dimensione, essendo un sottospazio di U possiamo dire che esistono n vettori linearmente indipendenti tali che
<kerF, *u*d.....*u*n> = U
ossia posso ottenere una base di U partendo da una base del kernel aggiungendo dei vettori linearmente indipendenti al kernel.
Sappiamo che l'immagine è composta anche dagli elementi derivati dall'immagine del kernel, oltre a questo avrà anche altri elementi
sapendo che gli elementi del kernel danno come immagine il vettore nullo possiamo allora togliere quei vettori dai vettori che una volta applicata f generano l'immagine
Otteniamo perchio tutti i vettori che generano l'immagine, ora però applicando f sappiamo che questi vettori generano l'immagine, che è un sottospazio e quindi deve anche avere il vettore nullo.
ora però questo significa che i vettori da cui siamo partiti devono appartenere al kernel o essere linearmente indipendenti
sappiamo per come li abbiamo presi che i vettori sono linearmente indipendenti ( abbiamo completato una base del domninio) e quindi l'unico modo per scrivere 0 nel dominio è un cambinazione lineare degli elementi del kernel e degli elementi che abbiamo aggiunto tutta con i coefficenti posti a zero
Abbiamo perciò che gli elementi che generano l'immagine sono dipendenti dagli elementi che generano il kernel e il legame è espresso nel teorema delle dimensioni
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Iniettiva
Suriettiva
Biettiva
Se è iniettiva e suriettiva
Ogni elemento distinto del dominio ha un immagine distinta nel codominio
Ogni elemento del codominio è associato ad almeno un elemento del dominio
Solo se ker={0}
dimostrazione
se il nucleo non è banale potremo avere un elemento di questo a cui applicata la funzione mi da un elemento dell'immagine, però essendo un elemento del kernel la sua immagine sarebbe 0 nel codominio e ciò ne confuta la iniettività
viceversa se il kernel è banale e l'applicazione è iniettiva allora non avrei modo di scrivere due vettori diversi che danno come immagine lo stesso vettore, infatti l'unico modo che ho per scriverlo è se i vettori sono tra loro uguali
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Se dim(dominio)>dim(codominio)
Non può essere iniettiva
Se dim(domnio)<dim(codominio)
non può essere Suriettiva