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Applicazioni Lineari (Teorema delle dimensioni ((Iniettiva (Solo se…

- - - - d= dim( KerF)
      - n= dim(U)
      - d è una certa dimensione, essendo un sottospazio di U possiamo dire che esistono n vettori linearmente indipendenti tali che <kerF, *u*d.....*u*n> = U
        ossia posso ottenere una base di U partendo da una base del kernel aggiungendo dei vettori linearmente indipendenti al kernel.
        
        Sappiamo che l'immagine è composta anche dagli elementi derivati dall'immagine del kernel, oltre a questo avrà anche altri elementi
        
        sapendo che gli elementi del kernel danno come immagine il vettore nullo possiamo allora togliere quei vettori dai vettori che una volta applicata f generano l'immagine
        
        Otteniamo perchio tutti i vettori che generano l'immagine, ora però applicando f sappiamo che questi vettori generano l'immagine, che è un sottospazio e quindi deve anche avere il vettore nullo.
        
        ora però questo significa che i vettori da cui siamo partiti devono appartenere al kernel o essere linearmente indipendenti
        
        sappiamo per come li abbiamo presi che i vettori sono linearmente indipendenti ( abbiamo completato una base del domninio) e quindi l'unico modo per scrivere 0 nel dominio è un cambinazione lineare degli elementi del kernel e degli elementi che abbiamo aggiunto tutta con i coefficenti posti a zero
        
        1 more item...
  - - - Ogni elemento distinto del dominio ha un immagine distinta nel codominio
      - Solo se ker={0}
        
        dimostrazione
        
        se il nucleo non è banale potremo avere un elemento di questo a cui applicata la funzione mi da un elemento dell'immagine, però essendo un elemento del kernel la sua immagine sarebbe 0 nel codominio e ciò ne confuta la iniettività
        
        viceversa se il kernel è banale e l'applicazione è iniettiva allora non avrei modo di scrivere due vettori diversi che danno come immagine lo stesso vettore, infatti l'unico modo che ho per scriverlo è se i vettori sono tra loro uguali
    - - Ogni elemento del codominio è associato ad almeno un elemento del dominio
    - - Se è iniettiva e suriettiva
    - - Non può essere iniettiva
    - - non può essere Suriettiva
- - - - Contiene il vettore nullo
        
        F(0)= 0 sempre
        
        Contiene il vettore nullo
        
        Verifico la chiusura rispetto alla somma e al prodotto
        
        Posso utilizzare anche la formula generale che include tutte e due le verifiche
- - - - Pratica
        
        Mostro che è un sistema lineare omogeneo, quindi è un sottospazio
      - Teorica
        
        Dimostro che è chiuso rispetto alla somma al prodotto e contiene il vettore nullo
  - - - Ponendo dominio e codominio R3 possiamo dire che (1,0,2) nel dominio è un elemento del kernel