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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA BÁSICA PARA INGENIEROS (DISTRIBUCIONES DE …
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA BÁSICA PARA INGENIEROS
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETAS
En este capítulo se estudian los
modelos matemáticos para calcular
la probabilidad en algunos problemas
típicos en los que intervienen variables
aleatorias discretas.
DISTRIBUCIÓN DISCRETA
UNIFORME
Una variable aleatoria tiene distribución
discreta uniforme si cada uno de los
resultados de su espacio muestral tiene
puede obtenerse con igual probabilidad.
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
Se obtienen directamente de las
definiciones correspondientes
DISTRIBUCIÓN DE
BERNOULLI
Es un experimento estadístico en el que
puede haber únicamente dos resultados
posibles. Es costumbre designarlos como
“éxito” y “fracaso” aunque pueden tener
otra representación y estar asociados a
algún otro significado de interés.
DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
Esta distribución es muy importante
y de uso frecuente. Corresponde a
experimentos con características
similares a un experimento de Bernoulli,
pero ahora es de interés la variable
aleatoria relacionada con la cantidad
de “éxitos” que se obtienen en el experimento.
Características de
un Experimento Binomial
a) La cantidad de ensayos n,
que se realizan es finita.
b) Cada ensayo tiene únicamente
dos resultados posibles: “éxito” o “fracaso”
c) Todos los ensayos realizados
son independientes
d) La probabilidad p, de obtener
“éxito” en cada ensayo permanece constante.
PARÁMETROS Y
VARIABLES
Los parámetros de un modelo de distribución
de probabilidad se refieren a valores con los
que se describe un problema particular. Para
la Distribución Binomial los parámetros son n y p.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
BINOMIAL ACUMULADA
GRAFICO DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución binomial tiene su
gráfico con forma simétrica cuando
p=0.5
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
NEGATIVA
Este modelo de probabilidad tienen
características similares al modelo
binomial: los ensayos son independientes,
cada ensayo tiene únicamente dos
resultados posibles, y la probabilidad
que cada ensayo tenga un resultado
favorable es constante.
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
DISTRIBUCIÓN
GEOMÉTRICA
Es un caso especial de la distribución
binomial negativa, cuando k=1. Es decir
interesa conocer la probabilidad respecto
a la cantidad de ensayos que se realizan
hasta obtener el primer “éxito”
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
DISTRIBUCIÓN
HIPERGEOMÉTRICA
Esta distribución se refiere a los
experimentos estadísticos que
consisten en tomar una muestra
sin reemplazo, de un conjunto finito
el cual contiene algunos elementos
considerados “éxitos” y los restantes
son considerados “fracasos”.
MEDIA Y VARIANZA DE
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN
IPERGEOMÉTRICA CON LA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si el tamaño de la muestra n es muy
pequeño respecto a N, entonces se
puede aceptar que la probabilidad de
“éxito” en cada ensayo no cambia
significativamente, es decir podemos
considerar que los ensayos son
“aproximadamente independientes”.
DISTRIBUCIÓN DE
POISSON
La distribución de Poisson es un
modelo que puede usarse para
calcular la probabilidad correspondiente
al número de “éxitos” que se obtendrían
en una región o en intervalo de tiempo
especificados, si se conoce el número
promedio de “éxitos” que ocurren.
Este modelo requiere que
se cumplan las siguientes suposiciones:
a) El número de “éxitos” que ocurren
en la región o intervalo es independiente
de lo que ocurre en otra región o intervalo
b) La probabilidad de que un resultado
ocurra en una región o intervalo muy
pequeño, es igual para todos los intervalos
o regiones de igual tamaño y es proporcional
al tamaño de la región o intervalo.
c) La probabilidad de que más de un
resultado ocurra en una región o intervalo
muy pequeño no es significativa.
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En la Distribución Binomial cuando n es
grande no es práctico el uso de la fórmula.
Para entender esto, suponga que n=100,
p=0.05 y se quiere calcular la probabilidad
que la variable aleatoria X tome el valor 4:
VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
Las variables aleatorias continuas
definen reglas de correspondencia
entre los resultados obtenidos en
experimentos cuyos valores se miden
en una escala continua y el conjunto
de los números reales.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
DE PROBABILIDAD
La probabilidad de una variable aleatoria
continua puede especificarse si existe una
función denominada función de densidad
de probabilidad Tal que el área debajo del
gráfico de esta función cumpla los requisitos
para que sea una medida del valor de probabilidad.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Al igual que en el caso discreto se puede
definir una función de probabilidad acumulada,
la cual en el caso continuo se denomina
función de distribución
MEDIA Y VARIANZA DE VARIABLES
ALEATORIAS CONTINUAS
PROPIEDADES DE LA
MEDIA Y LA VARIANZA
VALOR ESPERADO DE
EXPRESIONES CON UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
Estas expresiones también son variables
aleatorias y su dominio generalmente es
el mismo que el dominio de la variable
aleatoria original. El rango puede ser diferente.
MOMENTOS Y FUNCIÓN GENERADORA
DE MOMENTOS PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS
Las definiciones que fueron establecidas
para las variables aleatorias discretas se
extienden al caso discreto sustituyendo
sumatorias por integrales
TEOREMA DE CHEBYSHEV
El Teorema de Chebyshev es
aplicable también a variables
aleatorias contínuas. La
demostración usa integrales en
lugar de sumatorias
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD CONTINUAS
En este capítulo se estudian los modelos
matemáticos para calcular la probabilidad
en algunos problemas típicos en los que
intervienen variables aleatorias continuas.
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
CONTINUA
Este modelo corresponde a una
variable aleatoria continua cuyos
valores tienen igual valor de
probabilidad en un intervalo
especificado para la variable
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
CONTINUA
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La Distribución Normal es la piedra
angular de la teoría estadística moderna.
Conocida y estudiada desde hace
mucho tiempo, es utilizada para
describir el comportamiento aleatorio
de muchos procesos que ocurren en la
naturaleza y también realizados por los
humanos.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
ESTÁNDAR
ESTANDARIZACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si una variable tiene distribución Normal,
mediante una sustitución se la puede
transformar a otra variable con distribución
Normal Estándar. Este cambio de variable
facilita el cálculo de probabilidad y se
denomina estandarización de la distribución
de la variable.
VALORES REFERENCIALES DE
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Hay ciertos valores de la distribución
Normal de uso frecuente.
Si X es una variable aleatoria con
distribución Normal, la probabilidad
que tome valores en un µ, s intervalo
centrado en hasta una distancia de
una desviación estándar es aproximadamente
2s 3s 68%, hasta una distancia de es
aproximadamente 95% y hasta una
distancia de es cercano a 100% como
se demuestra a continuación:
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTÁNDAR
DISTRIBUCIÓN GAMMA
MEDIA Y VARIANZA PARA LA
DISTRIBUCIÓN GAMMA
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Es un caso particular de la distribución
Gamma y tiene aplicaciones de interés
práctico. Se obtiene con a = 1 en la
distribución Gamma
MEDIA Y VARIANZA PARA LA
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
UNA APLICACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Puede demostrarse que si una variable
aleatoria tiene distribución de Poisson
con parámetro. Entonces el tiempo de
espera entre dos “éxitos” consecutivos
es una variable aleatoria con 1/ . distribución
Exponencial con parámetro ß =
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Este modelo propuesto por Weibull se
usa en problemas relacionados con
fallas de materiales y estudios de confiabilidad.
Para estas aplicaciones es más flexible
que el modelo exponencial.
MEDIA Y VARIANZA PARA LA
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
RAZÓN DE FALLA
Si la variable aleatoria es el tiempo t
en que falla un equipo, el índice o
razón de falla en el instante t es la
función de densidad de falla al tiempo
t, dado que la falla no ocurre antes de t.
DISTRIBUCIÓN BETA
Este modelo tiene aplicaciones
importantes por la variedad de
formas diferentes que puede
tomar su función de densidad
eligiendo valores para sus parámetros.
MEDIA Y VARIANZA PARA LA
DISTRIBUCIÓN BETA
DISTRIBUCIÓN DE
ERLANG
La función de densidad de la distribución
de Erlang es igual a la distribución gamma,
pero el parámetro a debe ser entero positivo.
MEDIA Y VARIANZA PARA LA
DISTRIBUCIÓN DE ERLANG
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
Este modelo es importante en el
estudio de la Estadística Inferencial.
Se obtiene de la distribución
Gamma con a = /2, ß = 2
MEDIA Y VARIANZA DE LA
DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO
DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA
ACUMULADA
Esta distribución es un modelo matemático
que se asigna a un conjunto de datos cuando
se desconoce si pertenecen a un modelo de
probabilidad específico. La Distribución Empírica
Acumulada es una función de probabilidad que
asocia cada valor de la variable x con la
proporción de datos menores que el valor de x dado
