Propiedades de las funciones continuas
Melany Quimbiamba
Definición
Es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones e la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Informalmente, una función continua de R en R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel
DIEGO MORETA
AARÓN OCAÑA
Concepto:
Una función constante es aquella, la cual, en su gráfico, nunca se presenta una interrupción en su recorrido; visualmente sería como realizar una marca con un esfero sobre papel sin levantar la mano, la línea continua descrita es una representación de la función constante.
Será constante cuando exista límite en dicho punto y es igual al valor de la función de dicho punto
DEFINICIÓN:
Una función es continua siempre y cuando cumpla las siguientes condiciones:
-F(Xo) existe.
-Limf(x) existe y este sea finito
x→Xo
-limf(x) = f(Xo)
x→Xo
Concepto:
la continuidad de una función era representada intuitivamente a través de imágenes realizadas por medio de lápices para dibujar un gráfico en una hoja de papel (sobre un cierto intervalo del dominio) y nunca levantando el lápiz. Siempre que no se levante el lápiz , el gráfico se puede considerar como continuo sobre el intervalo dibujado.
Nayeli Andrango: Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Ricardo Maigua
Ambar Vinueza:
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el
límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la
función en ese punto, es decir:
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir:
PROPIEDADES:
click to edit
click to edit
propiedades
En la suma f + g es una función continua.
En el procucto por la constante k.f es continua.
S F Y G son continuas en el punto Xo.
El producto de f.g es continua en el punto.
La funcion identidad f(x) =x es continua es todo su dominio d (f)=R
En la divicion f/g es continua en el punto siempre y este sea diferente a 0.
La funcion costante f(x)=k es continua en todo su dominio D (f)=R.
2.- La funcion identidad, f(x)=x, es continua en todo su dominio, D(f)=R, por cuanto:
lim┬(×→×0)〖f(x)〗= lim┬(x→x0)x=x=f(x0)
PROPIEDADES:
- Si f y g son dos funciones continuas en un punto Xo:
1.- La funcion constante f(x)=K es contina en todo su dominio, D(f)=R, por cuanto:
lim┬(×→×0)〖f(x)〗= lim┬(x→x0)k=k=f(x0)
Continuidad Lateral: :
1.LA FUNCIÓN CONSTANTE
- LA FUNCIÓN IDENTIDAD
LA FUNCIÓN SUMA: f + g, es continua en el punto Xo.
LA FUNCIÓN PRODUCTO POR UNA CONSTANTE: k x f, es continua en el punto Xo.
LA FUNCIÓN PRODUCTO: f x g, es continua en el punto Xo.
Una función es constante si la variable dependiente toma el mismo valor siempre.
Cuando f(x)=x, es continua en todo su dominio
Definición:
KEVIN ENDARA
PROPIEDADES
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda y es igual a f(a).
: 
Una función f(x) es continua por la derecha a en el punto x = a si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha y es igual a f(a).
Si la función f(x) es continua por la derecha y por la izquierda de a, entonces es continua en a.
Si dos funciones son continuas en un punto Xo se puede decir que
Es aquella la cual para puntos cercanos de un dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de las funciones. Si la función no es continua se puede decir que es una función discontinua.
La función identidad g(x)= x es continua en todo su dominio por lo que se puede decir que su tendencia a Xo tanto en g(x) como en "x" y la variable "x"son iguales a g(Xo)
La función constante f(x)= k es continua en todo su dominio por lo que se puede decir que su tendencia a Xo tanto en f(x) como en k y la constante k son iguales a f(Xo)
Jair Moposita
LA FUNCIÓN COCIENTE: f/g , es continua en el punto Xo, siempre que g(x) sea diferente de 0 (cero).
LA FUNCIÓN COMPUESTA: g o f , es continua en el punto Xo, siempre que g sea continua en f(Xo)
LA FUNCIÓN (F^g) (x)= ( f(x))^g(x) : Es continua en el punto Xo.
Definición:Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Propiedades:
Propiedades
Propiedades:
La compuesta g o f es continua siempre si n g sea continua en el punto.
La funcion producto por una constante K*F es continua en el punto Xo
La función suma f + g es continua en el punto Xo
La función compuesta F O G es continua en el punto Xo siempre que g sea continua en f(Xo)
La función cociente F/G es continua en el punto Xo siempre que G ( Xo) sea diferente a 0
Una funcion llega a ser continua cuando el intervalo es continuo en todos sus puntos: 
Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a, entonces:
f + g es continua en x = a.
f · g es continua en x = a.
f / g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.
f o g es continua en x = a.
α · f es continua en x = a, siendo α un número real.
Si existe limites tanto por derecha y por izquierda y sus valores coinciden existe un punto en esa función: 
Cuando existe una función: F(x1): 
Cuando el limite y el valor de la función coinciden: 
Existe un limite por la derecha cuando se cumple lo siguiente: 
La funcion producto entre las dos funciones es continua en el punto Xo
la funcion cociente es continua en el punto Xo siempre que g(Xo) es diferente a 0.
La funcion producto por una constante es continua en el punto Xo
la funcion compuesta g*f es continua en el punto Xo siempre que una de ellas sea continua en Xo de la otra.
La función suma de estas dos funciones es continua en un punto Xo
en una funcion superpuesta en otra el punto Xo es continua.
1.- Unicidad del límite.
Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
La continuidad en un intervalo estudia si una función es continua en cierto intervalo.
Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
FUNCIÓN POLINÓMICA
La función f(x)= ao+a1x+a2x^2+......+ anx^n es una función continua en en todos los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.
3.- Anulación de la función.
Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.
4.- Acotación de la función.
Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.
5.- Continuidad y operaciones.
Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALE
3.- Si f y g son dos funciones continuas en un punto X0:
• La función suma, f+g, es continua.
• La función producto por una constante K .F, es continua.
• La función producto, f.g es continua.
• La función cociente, f/g, es continua siempre que g 0.
• La función compuesta, g o f, es continua, siempre que g sea continua en f(x0).
ES LA CONTINUIDAD EN SU DOMINIO
las funciones racionales vienen dadas por el cociente de dos funciones plinomicas son continuas en todo su dominio.
funciones de raiz
las funciones polinomicas son combinaciones lineales de funciones ptenciales son continuas en todo su dominio.
Las funciones potenciales es el producto de n funciones identidad son continuas en todo su dominio.
ADEMAS PODEMOS TOMAR EN CUENTA
Teorema de los ceros de Bolzano. Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b] → R una función
continua, verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces existe c ∈]a,b[ tal que f(c) = 0.
Teorema h:
Sea f una función continua en c tal que 
- Existe entonces un intervalo
en el que f tiene el mismo signo que 
Teorema del Valor Intermedio. Sea f : A → R una función continua. Si I es un intervalo
contenido en A, entonces f(I) también es un intervalo.
si n es par estas son continuas en todo su dominio
si n es impar son continuas pero en un intervalo
Teorema de Balzano:
Sea f una función continua en cada punto de un intervalo cerrado 
, de donde f(a) y f(b) tiene signos opuestos.
click to edit
FUNCIÓN POTENCIAL
La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
FUNCIÓN RACIONAL
La función f(x)= P(x)/ Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +infinito).
PROPIEDADES
La funcion identidad, f(x)=x, es continua en todo su dominio, D(f)=R, por cuanto:
lim┬(×→×0)〖f(x)〗=
lim┬(x→x0)x=x=f(x0)
La funcion constante f(x)=K es continua en todo su dominio, D(f)=R, por cuanto:
lim┬(×→×0)〖f(x)〗=
lim┬(x→x0)k=k=f(x0)
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
Si f y g son dos funciones continuas en un punto Xo:
La función cociente: f/g , es continua en el punto Xo, siempre que g(x) sea diferente de 0.
La función compuesta: g o f , es continua en el punto Xo, siempre que g sea continua en f(Xo)
La función producto: f x g, es continua en el punto Xo.
La función (F^g) (x)= ( f(x))^g(x) : Es continua en el punto Xo.
La función producto por una constante: k.f es continua en el punto Xo.
La función suma: f + g, es continua en el punto Xo.
click to edit
2.- Teorema del signo
Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a)
Función potencial: son el producto de n funciones identidad. Así pues son continuas en todo su dominio.
Función Racional: Viene dad por un cociente de dos funciones polinómicas. Son continuas mientras Q(x) sea diferente de cero.
Función polinómica: La función f(x)= ao+a1x+a2x^2+......+ anx^n es una función continua en en todos los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos. Son combinaciones lineales de funciones potenciales, así pues son continuas en todo su dominio
