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FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (PROBABILIDAD DE EVENTOS…
FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
FÓRMULAS DE CONTEO
Fórmulas básicas para conteo
de los elementos de grupos.
Principio Básico del Conteo
Si un grupo tiene m elementos y
otro grupo tiene n elementos,
entonces existen mxn
Formas diferentes de tomar un
elemento del primer grupo y otro
elemento del segundo grupo.
PERMUTACIONES
Son los arreglos diferentes
que se pueden hacer con los
elementos de un grupo.
En estos arreglos se debe
considerar el orden de los
elementos incluidos.
Número de permutaciones
Número de permutaciones con n
elementos diferentes de un conjunto
del cual se toman arreglos conteniendo
r elementos
CASOS ESPECIALES
PERMUTACIONES CON
TODOS LOS ELEMENTOS
ARREGLO CIRCULAR
Un arreglo circular es una permutación
con todos los elementos del grupo, tal
que el primero y el último elemento están
conectados.
PERMUTACIONES CON
ELEMENTOS REPETIDOS
Si del total de n elementos, n1 fuesen
repetidos, entonces los arreglos tendrían
formas idénticas cuando se considera el
orden de los n1 elementos repetidos.
COMBINACIONES
Son los arreglos que se pueden hacer
con los elementos de un conjunto
considerando que el orden de los elementos
en cada arreglo no es de interés.
EXPERIMENTO
ESTADÍSTICO
Es un procedimiento que se
realiza con el propósito de
obtener observaciones para
algún estudio de interés.
Un experimento requiere realizar
pruebas o ensayos para obtener
resultados.
Un Experimento Estadístico
tiene las siguientes características:
Se conocen todos los resultados
posibles antes de realizar el experimento.
No se puede predecir el resultado
de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad)
Debe poderse reproducir o
repetir el experimento en condiciones similares.
Se puede establecer un patrón
predecible a lo largo de muchas
ejecuciones del experimento.
Esta propiedad se denomina regularidad estadística.
ESPACIO MUESTRAL
El Espacio Muestral, representado con
la letra S, es el conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento.
Cada elemento de S se denomina
Punto Muestral.
Los puntos muestrales pueden
determinar que S sea discreto
o continuo.
S es discreto si sus elementos
pueden ponerse en correspondencia
con los números naturales. En este
caso S puede se finito o infinito.
S es continuo si los resultados corresponden
a algún intervalo de los números reales. En
este caso S es infinito por definición.
EVENTOS
Un evento es algún subconjunto
del Espacio Muestral S. Se pueden
usar letras mayúsculas para denotar
eventos.
ALGEBRA
El soporte matemático natural
para el estudio de las propiedades
de los eventos es la Teoría de
Conjuntos.
PROBABILIDAD DE EVENTOS
El valor de la probabilidad de
un evento es una medida de la
certeza de su realización
Asignación de valores de
probabilidad a eventos
Empírica
Es la proporción de veces que
un evento tuvo el resultado esperado
respecto al total de intentos realizados.
Mediante modelos
matemáticos
Puede determinar la probabilidad de eventos.
Algunos de estos modelos son estudiados en
este curso, tanto para variables discretas como
continuas.
Asignación clásica
El valor de probabilidad de un evento
es la relación entre la cantidad de
resultados que se consideran favorables
para el evento de interés, respecto al total
de resultados posibles (Espacio Muestral).
Probabilidad de
Eventos Simples
Un Evento Simple incluye un solo
punto muestral. Un evento cualquiera
A de S puede considerarse entonces
como la unión de sus eventos simples.
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
DE EVENTOS
En esta sección se introduce la
formalidad matemática necesaria
para fundamentar la Teoría de la
Probabilidad de Eventos.
PROPIEDADES DE LA
PROBABILIDAD DE EVENTOS
Con los axiomas establecidos se
pueden demostrar algunas
propiedades de interés, para los
eventos de un espacio muestral S.
Demostraciones basadas en
axiomas de probabilidad
a) Probabilidad de un Evento Nulo:
b) robabilidad del
Evento Complemento:
c) Probabilidad de Eventos Incluidos:
d) La probabilidad de
un Evento está entre 0 y 1:
e) Probabilidad de la
Diferencia de Eventos:
f) Regla Aditiva de
Probabilidad de Eventos:
Las propiedades pueden
extenderse a más eventos
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de un evento
puede depender o estar
condicionada al valor de probabilidad
de otro evento.
EVENTOS INDEPENDIENTES
Sean A y B eventos cualesquiera
de un espacio muestral S
REGLA MULTIPLICATIVA
DE LA PROBABILIDAD
Sean A, B eventos no
nulos cualquiera de S
PROBABILIDAD TOTAL
Existen situaciones en las cuales
varios eventos intervienen en la
realización de algún otro
evento del mismo espacio muestral.
TEOREMA DE BAYES
Sean B1, B2, ... ,BK eventos no
nulos mutuamente excluyentes de S
y que constituyen una partición de S,
y sea A un evento no nulo cualquiera de S
