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GMSD V1Dynamische Ersatzsysteme (Wiederholung aus Mechanik (Allgemeine…

- - - - \( x(t) \) Auslenkung zum Zeitpunkt t
        
        \( \hat x \) Amplitude
        
        \( \omega = 2 \pi f \) Kreisfrequenz
        
        \( \varphi \) (Null-)Phasenwinkel
        
        \( T = 1/f \) Periodendauer
      - Lösung: \( x(t) = \hat x \cdot \cos(\omega t - \varphi) \)
  - - - Längsschwinger
        
        Drehschwinger
        
        Pendel
        
        Kombination aus vorigen
    - - Gedämpft oder ungedämpft
        
        frei oder zwangserregt
        
        gefesselt oder ungefesselt
- - - - \( \begin{align} 2 \cdot E_{kin,original} & = 2 \cdot E_{kin,Ersatz} \\ J_1 \dot\varphi_1^2 +J_2 \dot\varphi_2^2 +J_3 \dot\varphi_3^2 +J_4 \dot\varphi_4^2 & = J_1 \dot\varphi_1^2 +J_{2,red} \dot\varphi_2^2 +J_{4,red} \dot\varphi_{4,red}^2 \\ \text{Es gilt: } \quad \varphi_3 = i \cdot \varphi_2, & \qquad \varphi_4 = i \cdot \varphi_{4,red} \\ J_1 \dot\varphi_1^2 + (J_2 + i^2 \cdot J_3) \dot\varphi_2^2 + i^2 \cdot J_4 \dot\varphi_{4,red}^2 & = J_1 \dot\varphi_1^2 + J_{2,red} \dot\varphi_2^2 + J_{4,red} \dot\varphi_{4,red}^2 \\ \text{Koeffizientenvergleich ergibt:} \quad & (J_2 + i^2 \cdot J_3) = J_{2,red} , \qquad i^2 \cdot J_4 = J_{4,red} \end{align} \)
        
        Damit sind die 5 Parameter des Ersatzsystems bekannt
    - - \( \begin{align} 2 \cdot E_{pot,original} & = 2 \cdot E_{pot,Ersatz} \\ c_1 (\varphi_2 - \varphi_1)^2 + c_2 (\varphi_4 - \varphi_3)^2 & = c_1 (\varphi_2 - \varphi_1)^2 + c_{2,red} ( \varphi_{4,red} - \varphi_2)^2 \\ \text{Es gilt:} \quad \varphi_3 = i \cdot \varphi_2 , & \qquad \varphi_4 = i \cdot \varphi_{4,red} \\ c_1 (\varphi_2 - \varphi_1)^2 + c_2 (i \cdot \varphi_{4,red} - i \cdot \varphi_2)^2 & = c_1 (\varphi_2 - \varphi_1)^2 + c_{2,red} ( \varphi_{4,red} - \varphi_2)^2 \\ \text{Koeffizientenvergleich ergibt:} & \quad c_{2,red} = i^2 \cdot c_2 \end{align} \)
    - - \( \begin{align} \lvert P_{diss,original} \rvert & = \lvert P_{diss,red} \rvert \\ k_2 (\dot\varphi_4 - \dot\varphi_3)^2 & = k_{2,red} (\dot\varphi_{4,red} - \dot\varphi_2)^2 \\ \text{Es gilt:} \quad \varphi_3 = i \cdot \varphi_2 , & \qquad \varphi_4 = i\cdot \varphi_{4,red} \\ k_2 (i \cdot \dot\varphi_{4,red} - i \cdot \dot\varphi_2)^2 & = k_{2,red} (\dot\varphi_{4,red} - \dot\varphi_2)^2 \\ \text{Koeffizientenvergleich ergibt:} & \quad k_{2,red} = i^2 \cdot k_2 \end{align} \)
    - - \( \begin{align} P_{äußere,original} & = P_{äußere,ersatz} \\ M_1 \dot\varphi_1 - M_4 \dot\varphi_4 & = M_1 \dot\varphi1 + M_{4,red} \dot\varphi_{4,red} \\ M_1 \dot\varphi_1 - i \cdot M_4 \dot\varphi_{4,red} & = M_1 \dot\varphi_1 + M_{4,red} \dot\varphi_{4,red} \\ \text{Koeffizientenvergleich ergibt:} & \quad M_{4,red} = -i \cdot M_4 \end{align} \)