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GMSD V2-V5 -Diskrete Systeme mit einem Freiheitsgrad (Verhalten bei…
GMSD V2-V5 -
Diskrete Systeme mit
einem
Freiheitsgrad
Eigenverhalten
Homogene Lösung
der Bewegungsgleichung anhand eines
Einmassenschwingers
Ansatz nach Newton: \( m \ddot x = \sum F_i = -cx - k \dot x \)
Umstellen zur
homogenen DGL 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten \( \ddot x + \frac{k}{m} \cdot \dot x + \frac{c}{m} \cdot x = 0 \\ \Leftrightarrow \ddot x + 2 \delta \cdot \dot x + \omega_0^2 \cdot x = 0 \)
Kennwerte
\( \begin{align} \text{Ungedämpfte Eigenkreisfrequenz } \omega_0 & = \sqrt{\frac{c}{m}} \\ \text{Abklingkonstante } \delta & = \frac{k}{2m} \\ \text{Dämpfungsgrad } \vartheta & = \frac{\delta}{\omega_0} \\ \text{Gedämpfte Eigenkreisfrequenz } \omega_d & = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \vartheta^2} = 2 \pi f \\ \text{Logarithmisches Dekrement } \Lambda & = \ln{\frac{x(t_0)}{x(t_0+T)}} = \delta T \end{align} \)
Standardansatz
zur Lösung einer DGL 2. Ordnung: \( x_h(t) = K \cdot e^{\lambda t} \) führt durch Differenzieren, Einsetzen in die DGL zum
charakteristischen Polynom
\( \lambda^2 + 2\delta\lambda + \omega_0^2 = 0 \) mit den Nullstellen (Eigenwerten) \( \lambda_{1/2} = -\delta \pm \sqrt{\delta^2-\omega^2} \).
Die
Lösung
der hom. DGL lautet \( x_h(t) = K_1 \cdot e^{\lambda_1 t} + K_2 \cdot e^{\lambda_2 t} \), bei welcher K1, K2 aus den Anfangsbedingungen ermittelt werden können.
Je nach
Lage der Nullstellen
in der komplexen Zahlenebene ergeben sich
verschiedene Systemverhalten
\( 0 < \omega_0 < \delta \): Zwei reelle Nullstellen \( (\vartheta >1) \):
Starke Dämpfung
, Kriechen
\( \delta = \omega_0 \neq 0 \): Eine doppelte reelle Nullstelle \( (\vartheta =1) \):
Homogene Lösung vereinfach sich zu \( x_h(t) = (K_1 + K_2t) \cdot e^{-\delta t} \)
Aperiodischer Grenzfall
, Kriechen
\( 0 < \delta < \omega_0 \): Zwei konjugiert komplexe Nullstellen (Realteil negativ) \( (0 < \vartheta < 1) \):
Die homogene Lösung ergibt sich zu \( x_h(t) = K_1 e^{(-\delta + j \omega_d)t} + K_2 e^{(-\delta - j \omega_d)t} = e^{-\delta t} [K_1 e^{j \omega_d t} + K_2 e^{-j \omega_d t}] \)
und mit der Eulerschen Formel \( e^{j \alpha} = \cos(\alpha) + j \sin(\alpha) \) folgt
\( x_h(t) = e^{-\delta t} \cdot [\underbrace{(K_1 + K_2)}_{A} \cdot \cos(\omega_d t) + \underbrace{(K_1 - K_2) \cdot j}_{B} \cdot \sin(\omega_d t)] \)
\( \Leftrightarrow x_h(t) = C e^{-\delta t} \cdot \cos(\omega_d t - \varphi_h) \) mit \( C=\sqrt{A^2+B^2}, \quad \tan \varphi_h = B/A \)
Da \( x_h(t) \) reell ist müssen K1 und K2 konjugiert komplexe Konstanten sein!
Schwache Dämpfung
, schwingungsfähig
Der
Realteil
des Eigenwerts beschreibt das
Dämpfungsverhalten
,
Der
Imaginärteil
des Eigenwerts beschreibt die
Eigenkreisfrequenz
Realteil
negativ \( \rightarrow \) Entzug von Energie
Realteil
positiv \( \rightarrow \) Zufuhr von Energie
\( \delta = 0 \land \omega_0 \neq 0 \): Zwei konjugiert komplexe Nullstellen (Realteil 0) \( (\vartheta = 0) \):
Die homogene Lösung ergibt sich zu \( x_h(t) = A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) = \hat x \cdot \cos(\omega_d t - \varphi_h) \)
Ungedämpft
, grenzsstabil schwingungsfähig
\( -\omega_0 < \delta < 0 \): Zwei konjugiert komplexe Nullstellen (Realteil positiv) \( (\vartheta > -1) \):
Die homogene Lösung ergibt sich zu \( x_h(t) = e^{-\delta t} \cdot [A \cdot \cos(\omega_d t) + B \cdot \sin(\omega_d t)] \)
\( \Leftrightarrow x_h(t) = C e^{-\delta t} \cdot \cos(\omega_d t - \varphi_h) \)
Entdämpft
, selbsterregtes instabiles schwingungsfähiges System
\( \delta \leq -\omega_0 < 0 \): Zwei reelle positive Nullstellen \( \vartheta < -1 \):
Die homogene Lösung ergibt sich zu \( x_h(t) = K_1 \cdot e^{\lambda_1 t} + K_2 \cdot e^{\lambda_2 t} \)
Sehr starke Anfachung
, instabiles Kriechen
\( \omega_0^2 < 0 \land \delta > 0 \): Eine reelle positive und eine reelle negative Nullstelle:
Die homogene Lösung ergibt sich zu \( x_h(t) = K_1 \cdot e^{\alpha_1 t} + K_2 \cdot e^{-\alpha_2 t} \) mit \( \alpha_1 = \lambda_1 > 0, \quad -\alpha_2 = \lambda_2 < 0 \)
Statische Instabilität
wie bei inversen Pendeln
\( \omega_0 = \delta = 0 \): Eine doppelte Nullstelle bei 0:
Die homogene Lösung ergibt sich zu \( x_h(t) = (K_1 + K_2 t) \cdot e^{-\delta t} \)
Starrkörperbewegung
, lineare Bewegung
Alternativer Ansatz
zur Lösung einer DGL 2. Ordnung wenn der Standardansatz nur
eine Lösung
liefert:
\( x_h(t) = q(t) \cdot e^{-\delta t} \) führt durch Differenzieren, Einsetzen in die DGL zu einer Lösung für \( q(t) \) welches wieder in den hom. Ansatz eingesetzt werden kann.
Bei Trockener Reibung
verhindert die Reibkraft \( F_R = \mu F_n = \mu mg \) die direkte Überführung in die homogene DGL da diese immer in Richtung von \( \dot x \) wirkt (\( \text{sgn}(\dot x) \)).
Man kann dann \( \mu mg = cx_R \) setzen und mit \( \bar x = x+x_r \) bzw. \( \bar x = x-x_R \) substituieren.
Man erhält die hom. DGL \( \begin{cases} \ddot{\bar x} + \frac{c}{m} \bar x = 0, & \text{für $\dot x \gt 0$ mit $\bar x = x+x_r$} \\ \ddot{\bar x} - \frac{c}{m} \bar x = 0, & \text{für $\dot x \lt 0$ mit $\bar x = x+x_r$} \end{cases} \)
Verhalten bei Zwangserregung
Erregerarten
Unwuchterregung
Fliehkraft \( F_{fz} = mr\omega^2 \)
Massenerregung
Gaskrafterregung
Wegerregung
Harmonische Krafterregung
Frequenzunabhängige Amplitude
Z.B. allgemeine Kraft \( \hat F = \cos(\Omega t) \),
(un)gefesselter Drehschwinger
Frequenzabhängige Amplitude
Z.B. Unwucht mit \( x_{u,x}=x+r \cos(\Omega t) \) und \( \ddot x_{u,x} = \ddot x - r\Omega^2 \cos(\Omega t) \).
Dabei ergibt sich die Schwerpunktsexzentrizität \( e=\frac{u}{m} r \)
Wird ein System erregt ist es nicht mehr homogen sondern erhält einen weiteren Term als Anregung. Deshalb setzt sich die
vollständige Lösung
der DGL nun aus einer
homogenen
und einer
partikulären
Lösung zusammen \( x_{ges} = x_{homogen} + x_{partikulär}\)
Der
homogene Lösungsanteil
ergibt sich aus dem
Eigenverhalten
.
Man setzt dazu die Anregung =0
Die
partikuläre Lösung
ergibt sich aus einem Ansatz in Form der Erregerfunktion. Im
eingeschwungenen
Zustand ist nur noch der
partikuläre
Anteil relevant.
Als Ansatz kann die Form der Erregerfunktion benutzt werden, z.B. \( x = A \cdot \cos(\Omega t) + B \cdot \sin(\Omega t) = \hat x \cdot \cos(\Omega t - \psi) \)
Ist die DGL
linear
kann auch das Prinzip der
Superposition
angewendet werden, bei dem der Erregerterm in Komponenten aufegteilt wird. Die Ergebnisse addieren sich einfach \( x(t)=x_1(t)+x_2(t) \).
Kennwerte
\( \begin{align} \text{Erregerfrequenz } \Omega & \\ \text{Phasenfrequenzgang } \psi & \\ \text{Frequenzverhältnis } \eta & = \frac{\Omega}{\omega_0}\\ \text{Vergrößerungsfunktion } V & = \frac{\hat x}{\hat F / c} = \frac{1}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+(2\vartheta\eta)^2}} \\ \text{Durchlässigkeit } V_D & = \hat F_{Gestell}/\hat F_{Erregung} \\ \text{Amplitudenfrequenzgang } V_1 & = \frac{\hat x}{\hat s} \\ \text{Amplitudenfrequenzgang } V_2 & = \frac{\hat x_r}{\hat s} \\ \text{Amplitudenfrequenzgang } V_3 & = \hat F_{rad}\hat F_{stat} \\ & \text{ mit $ F_{rad} = F_c + F_k $ und $ \hat F_{stat} = c\hat s $} \end{align} \)
Zeigerdiagramm
Darstellung einer komplexen Zahl
\( \begin{align} \text{Kartesische Darstellung } & \underline z = x + iy \\ \text{Polare Darstellung } & \underline z = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) \\ \text{Eulersche Darstellung } & \underline z = r \cdot e^{i \varphi} \end{align} \\ \text{mit $ r = \vert \underline z \vert = \sqrt{x^2+y^2} $ und $ \varphi = \arctan \frac{x}{y} $} \)
\( \Rightarrow x(t) = \text{Re}(\underline z) \)
Projektion des umlaufenden Zeigers auf die reelle Achse
\( \underline z = \hat z \cdot (\cos \Omega t + i \sin \Omega t) \\ \Rightarrow x(t) = \hat z \cdot \cos \Omega t \)
Wird der Ansatz \( x(t) = \hat x \cdot \cos(\Omega t - \psi) \) abgeleitet und in die DGL mit Anregung eingesetzt können die einzelnen Summenterme in die komplexe Zahlenebene qualitativ eingezeichnet und mit
Trigonometrie
analysiert werden.
Harmonische Wegerregung
Wird eine Masse mit Feder und Dämpfer über eine sinusförmige Führung aus der statischen Gleichgewichtslage ausgelenkt spricht man von harmonischer Wegerregung.
Es gilt für die Wegerregung \( s=\hat s \cot \Omega t \) und \( \dot s = -\hat s\Omega \sin\Omega t \). Dann gilt für die Erregerkreisfrequnz \( \Omega = \dot\varphi=2\pi\frac vl \)
Für den
Amplitudenfrequenzgang
stellt sich bei \( \eta=\sqrt 2 \) ein Knotenpunkt bei \( V_1 = 1 \) für alle Dämpfungen ein.
Das Maximum wird beschrieben durch \( \eta_{max}=\frac{1}{2\vartheta}\sqrt{\sqrt{1+8\vartheta^2}-1} \).
Der
Amplitudenfrequenzgang
\( V_2 \) beschreibt das Verhältnis von Relativamplitude zu Erregeramplitude.
Definiert man einen weiteren
Amplitudenfrequenzgang
\( V_3\) als die Amplituden der Radaufhängungskraft durch statische Kraft ergibt sich \( V_3=\eta^2 V_1 = \frac{\hat F_{rad}}{\hat F_{stat}} \)
\( V_2 \) beginnt bei \( (\eta=0|V_2=0) \) und wächst dann je nach Dämpfung \( \vartheta \) auf \( V_2=1 \) für \( \eta \to \infty \).
Das Maximum \( V_{2,max} \) liegt bei \( \eta=\frac{1}{\sqrt{1-2\vartheta^2}} \) für \( \vartheta \geq\sqrt{0.5} \)
Der
Phasenfrequenzgang
\( \psi \) beschreibt den Zeitversatz zwischen Anregung und Systemantwort.
Die Kurve von \( \psi \) über \( \eta \) aufgetragen startet bei \( (0|0) \) und geht für große \( \eta \) gegen \( \pi \). Für \( \vartheta=0 \) macht sie dabei bei \( \eta=1 \) einen Sprung von 0 auf pi, geht aber bei höheren Dämpfungen mehr in eine Wurzel-Form über.
Der
Amplitudenfrequenzgang
\( V \) (Vergrößerungsfunktion) gibt die Größe der Amplituden in Abhängigkeit des Frequenzverhältnisses \( \eta \) dimensionslos an.
Als Graph über \( \eta \) dargestellt startet \( V(\eta=0) \) bei 1, hat dann je nach \( \vartheta \) ein Maximum (Kurvenschar) und fällt für \( \eta \rightarrow \infty\) nach 0 ab.
Das Maximum liegt für \( \vartheta=\infty \) bei \( (0|1) \) und verschiebt sich auf einer 1/x-Kurve für kleine \( \vartheta \) nach \( (1|\infty) \). Es gilt \( V_{max}=1/\sqrt{1-\eta^4} \)
Schwingungsisolierung
Die
Passivisolierung
vermeidet die Schwingungsübertragung von der Umgebung auf die Maschine oder das Gerät. Kann durch das wegerregte System untersucht werden.
Die
Aktivisolierung
vermeidet die Schwingungsübertragung der Maschine auf die Umgebung. Feder- und Dämpferkräfte werden als Gestellkraft zusammengefasst.
Man definiert die
Durchlässigkeit
als \( V_D=\frac{\hat F_G}{\hat F} \)
Verhalten bei Selbst- und Parametererregung
Anregung durch Reibung
Wird eine Masse über z.B. Reibung zu Schwingung angeregt kann eine neue statische Gleichgewichtslage gefunden werden. Diese neue Lage \( x_0 \) erhält die Laufvariable \( \bar x \). Durch Substitution mit diesen Variablen kann die Kennlinie der angreifenden Kraft (z.B. Haft- zu Gleitreibung) mittels einer Talyorentwicklung linearisiert werden und so ergibt sich eine linearisierte Bewegungsgleichung als homogene Bewegungsgleichung eines gedämpften Einmassenschwingers.
Die
Reibkennlinie
stellt das Verhältnis von Festkörper- zu Flüssigkeitsreibung dar.
\( F_R=\text{sgn}(v_r) \cdot F_n (f_1(v_r) + f_2(v_r)) \)
mit \( f_1(v_r)=\frac{\mu_h}{C_1 v_r^2 +1} \)
und \( f_2(v_r)=\sqrt{C_2 |v_r|} \).
Typische Werte: \( \mu_h=0.6, \quad C_1=2\frac{s^2}{m^2}, \quad C_2 = 0.002 \frac sm \)
Alternativer Ansatz für die Reibkennlinie: \( F_R=\text{sgn}(v_r) F_n (f_3(v_r)+f_4(v_r)) \)
mit \( f_3(v_r)=\mu_G+(\mu_H-\mu_G)e^{-(v_R/v_{RS})^{\delta_S}} \)
und \( f_4(v_r)=\frac{k_D}{F_N} |v_R| \)
Typische Werte:
\( \mu_H=0.6, \quad \mu_G=0.6 \)
\( v_{RS} = 1\frac ms, \quad k_D=0.5 \frac{Ns}{m}, \quad \delta_S=1.5 \)
Vermeidungsmaßnahmen
Vermeidung der fallenden Reibungskennlinie, Verschiebung des Arbeitspunkts in einen Teil mit flacherer Kennlinie, Vergößerung der Dämpfung.
Berechnung
Ermitteln der statischen Ruhelage, in der sich die Anregung mit den anderen Kräften aufheben. Dann Bewegungs-DGL aufstellen und das System in die statische Ruhelage verschieben mit \( \bar x=x-x_0 \). Dazu die neue Laufvariable ableiten und in die DGL einsetzen.
Aerodynamische Anregung
Verursacht die Windkraft, die auf ein Profil trifft, eine Kraft in Richtung der Bewegungsrichtung des Profils verstärkt der Wind die Bewegung. Ist die Kraft entgegengesetzt dämpft sie.
Zahnradgetriebe
Greifen zwei Zahnräder ineinander wird die Kraft entlang der Eingriffslinie übertragen. Sie liegt am Grundkreis beider Zahnräder an und hat deshalb den Winkel \( \alpha_0 \). Die Kraftübertragung kann man sich anhand parallerer Feder und Dämpfer entlang dieser Linie vorstellen.
Die
Gesamtsteifigkeit c
hängt dabei vom
Überdeckungsgrad
\( \varepsilon \) ab. Die Einzelsteifigkeiten haben eine Sinusform, überdecken sich und werden aufsummiert. Somit ist die Gesamtfedersteifigkeit vom Winkel der Zahnräder abhängig.
Durch die Schwingfähigkeit definiert man den
Ist-Drehwinkel
\( \Phi^* \) als Summe von
Soll-Drehwinkel
\( \Phi \) und
Schwingwinkel
\( \varphi \) mit \( \Phi=\Omega t \)
Es ergibt sich eine Lineare Dgl. mit periodischem Koeffizienten (
Hillsche Dgl.
) \( \ddot x + \frac{c(t)}{m}x=0 \) mit \( c(t)=c_0+\tilde c(t) \)
Geht man von einem harmonischem Zahnsteifigkeitsverlauf \( c(t)=c_0+\hat c \cos(\Omega_\mu t) \) aus ergibt sich stattdessen eine lineare Dgl. mit harmonischem Koeffizienten (
Mathieusche Dgl.
) \( \ddot x + \left[\frac{c_0}{m}+\frac{\hat c}{m}\cos(\Omega_\mu t)\right]=0 \)
Überführt in die Normalform der Matheiuschen Dgl \( x''+(\lambda + \hat\gamma \cos \tau)x=0 \) mit der dimensionslosen Zeit \( \tau=\Omega_\mu t \), \( x''=d^2x/d\tau^2 \), \( \omega_0=\sqrt{\frac{c_0}{m}} \), \( \lambda=\frac{c_0}{m\Omega_\mu^2}=\left(\frac{\omega_0}{\Omega_\mu}\right)^2 \), und \( \hat \gamma=\frac{\hat c}{m\Omega_\mu^2} \)
Trägt man \( \hat\gamma \) über \( \lambda \) auf ergeben sich Bereiche der (in)stabilität.
Die Bereiche starten bei \( (\lambda=\left(\frac p2\right)^2 | 0) \) mit \( p \in \mathbb N \) und wachsen ungefähr kegelförmig nach oben.
Bei kleinen \( \hat\gamma \) tritt Resonanz also bei der Erregerfrequenzen \( \Omega_{\mu,krit.}=\frac 2p \omega_0,\ p\in\mathbb N \) auf.