TEORIA DE LA PROBABILIDAD
Formulas de conteo
Se tiene un grupo con m elementos, y otro grupo con n elementos, entonces existen mxn formas distintas de tomar un elemento del primer grupo y otro elemento del segundo grupo
Permutaciones
Las permutaciones son los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un grupo (Se debe considerar el orden de los elementos incluidos)
Arreglo circular
Un arreglo circular es una permutación con todos los elementos del grupo, donde el primero y el último elemento están conectados
Combinaciones
Las combinaciones son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
Debido a que en las combinaciones no importa el orden de los elementos en cada arreglo, es equivalente a tener permutaciones con elementos repetidos.
Experimento estadístico
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Un experimento estadístico tiene las siguientes características
Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento.
No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado.
Debe poderse repetir el experimento en condiciones similares
Se puede establecer un patrón predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento.
Espacio muestral
El espacio muestral, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento (Representado con la letra S).
Cada elemento de S se denomina punto muestral
Eventos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral S. Se denota mediante letras mayúsculas.
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Evento nulo: No contiene resultados
Evento simple: Contiene un solo resultado
Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes.
o-Algebra
Es una colección no vacia de subconjuntos de S, donde: A incluye a S a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.
Probabilidad de eventos El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.
Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice
Asignación de valores de probabilidad de eventos
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Empírica: Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de intentos realizados
Mediante modelos matemáticos: Para algunas situaciones puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la tprobabilidad de los eventos
Asignación clásica: El valor de la probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideren favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles.
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P(A)= 0 es la certeza de que no se realizara
P(A)= 1 es la certeza de que si se realizara
P(A)= 0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no.
Probabilidad de eventos simples:
Un evento simple incluye un solo punto muestral. Un evento cualquiera de A de S puede considerarse entonces como la unión de sus eventos simples
Axiomas de probabilidad de eventos
El primer axioma indica que la probabilidad de un evento no puede tener valores negativos.
El segundo axioma establece que la probabilidad de un resultado pertenezca al espacio muestral es 1.
El tercer axioma establece que si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad del evento que resulta de la unión de estos eventos, es la suma de las probabilidades de ambos eventos
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional del evento A dado el evento B se escribe P(A|B) y es:
P(A|B)= P(AnB)/P(B), P(B) dif 0
Eventos independientes
A y B son independiente si P(AnB)= P(A)P(B
Regla multiplicativa de la probabilidad
Sean A, B eventos no nulos cualquiera de S, entonces
P(AnB)= P(A) P(B|A)
Probabilidad total
Sea A un evento cualquiera de S, La realización de A depende de los eventos B1,B2…. Bk. P(A)= P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+….P(Bk)P(A|Bk) = zP(Bi)P(A|Bi)
Teorema de Bayes
La fórmula de bayes permite calcular la probabilidad correspondiente a cada uno de los eventos que contribuyen a la realización de otro evento, dado que se conoce la probabilidad de ese evento