PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.
Las propiedades se pueden definir en las
siguientes:
Funciones continuas
3.- Si f y g son dos funciones continuas en un punto Xo
La función cociente f/g, es continua en el punto Xo siempre que g(Xo) sea diferente de 0
La función producto f*g es continua en el punto Xo
La función producto por una constante k * f es continua en el punto Xo
La funcón compuesta g o f, es continua en el punto Xo siempre que g sea continua en f(Xo)
La funcón suma f + g es continua en el punto Xo
La función (f^g) (x) = (f(x))^g(x) es continua en el punto Xo
Propiedades de las funciones continuas
1.La función constante f(x)=k es continua en todo su dominio, D(f)=R.
- La función identidad f(x)=x es continua en todo su dominio, D(f)=R.
3
3.1 La función suma f + g, es continua en el punto Xo.
3.2 La función producto por una constante K * f es continua en el punto Xo.
3.3 La función producto f*g es continua en el punto Xo
3.4 La función cociente f/g, es continua en el punto Xo siempre que g(Xo) sea diferente de 0
3.5 La función compuesta g°f, es continua en el punto Xo siempre que g sea continua en f (Xo)
3.6 La función f^g=[f(x)]^g(x) es continua en el punto Xo
Definición.
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
- si f y g son dos funciones continuas en un punto Xo
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1.-FUNCIÓN CONSTANTE f(x)= k siendo coninua en todo su dominio y D(f)= R
2.-Función identidad f(x)= x es continua en todo su dominio, D(f) = R
CONDICIONES:
PROPIEDADES
1.- Unicidad del límite.
Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
2.- Teorema del signo.
Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).
✅ FUNCION CONSTANTE:
F(X)=K ES CONTINUO, POR LO QUE D(F)=R, Y NOS QUEDA ESTA FORMULA:
⭐
✅ FUNCION IDENTIDAD:
- LA FUNCION IDENTIDAD, F(X) = X, ES CONTINUA EN TODO SU DONIMINO, D(F) = R , POR CUANTO:
⭐
a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.
b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
c.- Los dos valores anteriores coinciden.
3.- Anulación de la función.
Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.
4.- Acotación de la función.
Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.
5.- Continuidad y operaciones.
Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.
Continuidad de las funciones elementales
Funciones potenciales: las funciones potenciales son el producto de n funciones identidad así por las propiedades 2 y 3.3 son continuas en todo su dominio.
Funciones polinómicas: las funciones polinómicas son combinaciones lineales de funciones potenciales así por las propiedades 3.1 y 3.2 son continuas en todo su dominio
Funciones racionales: las funciones racionales vienen dadas por un cociente de dos funciones polinómicas paz y por la propiedad 3.4 son continuas en todo su domino
Funciones raíz: Si n es par intervalo las funciones son continuas en el intervalo ]0, infinito +[ por la propiedad 3.6 son continuas por la derecha en Xo = 0 así son continuas en todo su dominio
Si n es impar intervalo las funciones son continuas en el intervalo ]0, infinito +[ por la propiedad 3.6 y son continuas en el intervalo ]-infinito, 0[ por las propiedades 3.2 y 3.6 y son continuas por la derecha en Xo = 0 así son continuas en todo su dominio
CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES
Función constante:
La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.
Función identidad:
La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.
Función potencial:
La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
Función polinómica:
los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.
Función racional:
en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial:
La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.
Función logarítmica:
La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +¥).
También son continuas en todo su dominio y las siguientes funciones elementales
Teorema del valor intermedio.
Se define como:
Conservación del signo. Sea f : A → R una función real de variable real y supongamos
que f es continua en un punto x ∈ A. Entonces:
Si f(x) > 0, existe δ > 0 tal que: y ∈ A, |y−x| < δ =⇒ f(y) > 0
Si f(x) < 0, existe δ > 0 tal que: y ∈ A, |y−x| < δ =⇒ f(y) < 0
Demostración. Si f(x) > 0, tomando ε = f(x), la caracterización (ε−δ) de la continuidad
nos proporciona un δ > 0 tal que, para y ∈ A con |y − x| < δ se tiene | f(y) − f(x)| < f(x) de
donde
−f(x) < f(y)− f(x) es decir f(y) > 0
En el caso f(x) < 0 aplicamos lo ya demostrado a la función −f , que también es continua en el
punto x y verifica (−f)(x) > 0.
Teorema de los ceros de Bolzano
. Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b] → R una función
continua, verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces existe c ∈]a,b[ tal que f(c) = 0.
Demostración. Un sencillo dibujo nos sugiere una forma de encontrar el punto c y nos hace
ver que el axioma del continuo debe ser un ingrediente clave en la demostración.
Teorema del Valor Intermedio.
. Sea f : A → R una función continua. Si I es un intervalo
contenido en A, entonces f(I) también es un intervalo.
Demostración. Usando la caracterización de los intervalos, deberemos comprobar que si
α,β ∈ f(I) y α < λ < β, entonces λ ∈ f(I). Queda así claramente de manifiesto la propiedad de
f que estamos demostrando: si toma en I dos valores distintos, ha de tomar también en I todos
los valores intermedios. Si x,y ∈ I son tales que f(x) = α y f(y) = β, distinguiremos dos casos,
según la relación entre x e y.
Continuidad de las funciones elementales
Función identidad
La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.
Función potencial
La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
Función constante
La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.
Funciones exponenciales F ( x )= a^x con a mayor que 0, a diferente de 0 las funciones exponenciales son continuas en R
Funciones logarítmicas f(x)= log a (x,a) mayor que 0, a diferente de 0 las funciones logarítmicas son continuas en(0,+ infinito )
Funciones trigonométricas: f(x)= sen x , g(x)= cos x , h(x)= tan x son continuas en: R( todos los números reales )
Función polinómica
los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos
Verde: Sofia Quinchiguango.
Función racional
en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial
La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.
Dalila Rengel
El de la izquierda de Brenda
Morado: Pablo Velásquez
Rojo: Dalila Rengel
Función logarítmica
La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +¥).
✅ 3. SI F Y G SON DOS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO x_0:
✅ 3.4 LA FUNCIÓN COCIENTE, f/g , ES CONTINUA EN EL PUNTO X0, SIEMPRE QUE G(X0) ≠ 0
✅3.3 LA FUNCIÓN PRODUCTO, F * G, ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0.
✅ 3.5 LA FUNCIÓN COMPUESTA, G °f , ES CONTINUA EN EL PUNTO X0, SIEMPRE QUE G SEA CONTINUA EN f〖(x〗_0)
✅ 3.2 LA FUNCIÓN PRODUCTO POR UNA CONSTANTE, K * F, ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0.
✅ LA FUNCIÓN f^g =[f(x)]G(X) ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0
✅ 3.1 LA FUNCIÓN SUMA, F + G ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0.
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMNETALES:
✅Función potencial
⭐LA FUNCIÓN POTENCIAL F (X) = XN ES CONTINUA EN TODOS SUS PUNTOS, SALVO EL CASO EN QUE N<0 Y X=0, YA QUE EN ESTE CASO SE TENDRÍA UNA FUNCIÓN RACIONAL CON DENOMINADOR NULO.
✅FUNCION RACIONAL
⭐LAS FUNCIONES RACIONALES VIENEN DADAS POR UN COCIENTE DE DOS FUNCIONES POLINÓMICAS PAZ Y POR LA PROPIEDAD 3.4 SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINO
✅FUNCION POLINOMICA
⭐LAS FUNCIONES POLINÓMICAS SON COMBINACIONES LINEALES DE FUNCIONES POTENCIALES ASÍ POR LAS PROPIEDADES 3.1 Y 3.2 SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINIO
✅ FUNCION RAIZ
⭐SI N ES PAR INTERVALO LAS FUNCIONES SON CONTINUAS EN EL INTERVALO ]0, INFINITO +[ POR LA PROPIEDAD 3.6 SON CONTINUAS POR LA DERECHA EN XO = 0 ASÍ SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINIO
⭐ SI N ES IMPAR INTERVALO LAS FUNCIONES SON CONTINUAS EN EL INTERVALO ]0, INFINITO +[ POR LA PROPIEDAD 3.6 Y SON CONTINUAS EN EL INTERVALO ]-INFINITO, 0[ POR LAS PROPIEDADES 3.2 Y 3.6 Y SON CONTINUAS POR LA DERECHA EN XO = 0 ASÍ SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINIO