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PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. (3.- Si f y g son dos funciones…
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.
Las propiedades se pueden definir en las
siguientes:
Funciones continuas
Propiedades de las funciones continuas
1.La función constante f(x)=k es continua en todo su dominio, D(f)=R.
La función identidad f(x)=x es continua en todo su dominio, D(f)=R.
3
3.1 La función suma f + g, es continua en el punto Xo.
3.2 La función producto por una constante K * f es continua en el punto Xo.
3.3 La función producto f*g es continua en el punto Xo
3.4 La función cociente f/g, es continua en el punto Xo siempre que g(Xo) sea diferente de 0
3.5 La función compuesta g°f, es continua en el punto Xo siempre que g sea continua en f (Xo)
3.6 La función
f^g
=[f(x)]^g(x) es continua en el punto Xo
si f y g son dos funciones continuas en un punto Xo
Continuidad de las funciones elementales
Funciones potenciales: las funciones potenciales son el producto de n funciones identidad así por las propiedades 2 y 3.3 son continuas en todo su dominio.
Funciones polinómicas: las funciones polinómicas son combinaciones lineales de funciones potenciales así por las propiedades 3.1 y 3.2 son continuas en todo su dominio
Funciones racionales: las funciones racionales vienen dadas por un cociente de dos funciones polinómicas paz y por la propiedad 3.4 son continuas en todo su domino
Funciones raíz: Si n es par intervalo las funciones son continuas en el intervalo ]0, infinito +[ por la propiedad 3.6 son continuas por la derecha en Xo = 0 así son continuas en todo su dominio
Si n es impar intervalo las funciones son continuas en el intervalo ]0, infinito +[ por la propiedad 3.6 y son continuas en el intervalo ]-infinito, 0[ por las propiedades 3.2 y 3.6 y son continuas por la derecha en Xo = 0 así son continuas en todo su dominio
También son continuas en todo su dominio y las siguientes funciones elementales
Funciones exponenciales F ( x )= a^x con a mayor que 0, a diferente de 0 las funciones exponenciales son continuas en R
Funciones logarítmicas f(x)= log a (x,a) mayor que 0, a diferente de 0 las funciones logarítmicas son continuas en(0,+ infinito )
Funciones trigonométricas: f(x)= sen x , g(x)= cos x , h(x)= tan x son continuas en: R( todos los números reales )
Dalila Rengel
3.- Si f y g son dos funciones continuas en un punto Xo
La función cociente f/g, es continua en el punto Xo siempre que g(Xo) sea diferente de 0
La función producto f*g es continua en el punto Xo
La función producto por una constante k * f es continua en el punto Xo
La funcón compuesta g o f, es continua en el punto Xo siempre que g sea continua en f(Xo)
La funcón suma f + g es continua en el punto Xo
La función (f^g) (x) = (f(x))^g(x) es continua en el punto Xo
Teorema del valor intermedio.
Se define como:
Conservación del signo. Sea f : A → R una función real de variable real y supongamos
que f es continua en un punto x ∈ A. Entonces:
Si f(x) > 0, existe δ > 0 tal que: y ∈ A, |y−x| < δ =⇒ f(y) > 0
Si f(x) < 0, existe δ > 0 tal que: y ∈ A, |y−x| < δ =⇒ f(y) < 0
Demostración. Si f(x) > 0, tomando ε = f(x), la caracterización (ε−δ) de la continuidad
nos proporciona un δ > 0 tal que, para y ∈ A con |y − x| < δ se tiene | f(y) − f(x)| < f(x) de
donde
−f(x) < f(y)− f(x) es decir f(y) > 0
En el caso f(x) < 0 aplicamos lo ya demostrado a la función −f , que también es continua en el
punto x y verifica (−f)(x) > 0.
Teorema de los ceros de Bolzano
. Sean a,b ∈ R con a < b y f : [a,b] → R una función
continua, verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces existe c ∈]a,b[ tal que f(c) = 0.
Demostración. Un sencillo dibujo nos sugiere una forma de encontrar el punto c y nos hace
ver que el axioma del continuo debe ser un ingrediente clave en la demostración.
Teorema del Valor Intermedio.
. Sea f : A → R una función continua. Si I es un intervalo
contenido en A, entonces f(I) también es un intervalo.
Demostración. Usando la caracterización de los intervalos, deberemos comprobar que si
α,β ∈ f(I) y α < λ < β, entonces λ ∈ f(I). Queda así claramente de manifiesto la propiedad de
f que estamos demostrando: si toma en I dos valores distintos, ha de tomar también en I todos
los valores intermedios. Si x,y ∈ I son tales que f(x) = α y f(y) = β, distinguiremos dos casos,
según la relación entre x e y.
Definición.
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
CONDICIONES:
a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.
b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
c.- Los dos valores anteriores coinciden.
PROPIEDADES
1.- Unicidad del límite.
Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
2.- Teorema del signo.
Si una función es continua en un punto
, entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).
3.- Anulación de la función.
Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.
4.- Acotación de la función.
Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.
5.- Continuidad y operaciones.
Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.
CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES
Función constante:
La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.
Función identidad:
La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.
Función potencial:
La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
Función polinómica:
los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.
Función racional:
en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial:
La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.
Función logarítmica:
La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +¥).
1.-FUNCIÓN CONSTANTE f(x)= k siendo coninua en todo su dominio y D(f)= R
2.-Función identidad f(x)= x es continua en todo su dominio, D(f) = R
:CHECK: FUNCION CONSTANTE:
F(X)=K ES CONTINUO, POR LO QUE D(F)=R, Y NOS QUEDA ESTA FORMULA:
:star:
:check: FUNCION IDENTIDAD:
LA FUNCION IDENTIDAD, F(X) = X, ES CONTINUA EN TODO SU DONIMINO, D(F) = R , POR CUANTO:
:star:
:check: 3. SI F Y G SON DOS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO x_0:
:check: 3.4 LA FUNCIÓN COCIENTE, f/g , ES CONTINUA EN EL PUNTO X0, SIEMPRE QUE G(X0) ≠ 0
:check:3.3 LA FUNCIÓN PRODUCTO, F * G, ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0.
:check: 3.5 LA FUNCIÓN COMPUESTA, G °f , ES CONTINUA EN EL PUNTO X0, SIEMPRE QUE G SEA CONTINUA EN f〖(x〗_0)
:check: 3.2 LA FUNCIÓN PRODUCTO POR UNA CONSTANTE, K * F, ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0.
:check: LA FUNCIÓN
f^g
=[f(x)]G(X) ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0
:check: 3.1 LA FUNCIÓN SUMA, F + G ES CONTINUA EN EL PUNTO x_0.
CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMNETALES:
:check:Función potencial
:STAR:LA FUNCIÓN POTENCIAL F (X) = XN ES CONTINUA EN TODOS SUS PUNTOS, SALVO EL CASO EN QUE N<0 Y X=0, YA QUE EN ESTE CASO SE TENDRÍA UNA FUNCIÓN RACIONAL CON DENOMINADOR NULO.
:check:FUNCION RACIONAL
:STAR:LAS FUNCIONES RACIONALES VIENEN DADAS POR UN COCIENTE DE DOS FUNCIONES POLINÓMICAS PAZ Y POR LA PROPIEDAD 3.4 SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINO
:check:FUNCION POLINOMICA
:STAR:LAS FUNCIONES POLINÓMICAS SON COMBINACIONES LINEALES DE FUNCIONES POTENCIALES ASÍ POR LAS PROPIEDADES 3.1 Y 3.2 SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINIO
:check: FUNCION RAIZ
:STAR:SI N ES PAR INTERVALO LAS FUNCIONES SON CONTINUAS EN EL INTERVALO ]0, INFINITO +[ POR LA PROPIEDAD 3.6 SON CONTINUAS POR LA DERECHA EN XO = 0 ASÍ SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINIO
:STAR: SI N ES IMPAR INTERVALO LAS FUNCIONES SON CONTINUAS EN EL INTERVALO ]0, INFINITO +[ POR LA PROPIEDAD 3.6 Y SON CONTINUAS EN EL INTERVALO ]-INFINITO, 0[ POR LAS PROPIEDADES 3.2 Y 3.6 Y SON CONTINUAS POR LA DERECHA EN XO = 0 ASÍ SON CONTINUAS EN TODO SU DOMINIO
Continuidad de las funciones elementales
Función identidad
La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.
Función potencial
La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
Función constante
La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.
Función polinómica
los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos
Función racional
en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial
La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.
Función logarítmica
La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +¥).
El de la izquierda de Brenda
Morado: Pablo Velásquez
Rojo: Dalila Rengel
Verde: Sofia Quinchiguango.
