f的不定積分（或稱原函數）是任何滿足其導函數是函數f的函數 F。

一個函數f的不定積分不是唯一的：只要F是f的不定積分，那麼與之相差一個常數的函數 F + C 也是f的不定積分。

微積分基本定理，由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨自確立。

微積分基本定理將微分和積分聯繫在一起，這樣，通過找出一個函數的原函數，就可以方便地計算它在一個區間上的積分。

積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出，稱為「黎曼積分」。

黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。

從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現，有了對各種積分域上的各種類型的函數的積分。

通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下的I在黎曼積分意義上表示一個區間，在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。

積分是線性的。如果一個函數f可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函數f 和g可積，那麼它們的和與差也可積。

所有在I上可積的函數構成了一個線性空間。黎曼積分的意義上，所有區間[a, b]上黎曼可積的函數 f f和g都滿足：

所有在可測集合I上勒貝格可積的函數f 和g都滿足：

在積分區域上，積分有可加性。黎曼積分意義上，如果一個函數 f在某區間上黎曼可積，那麼對於區間內的三個實數a, b, c，有

如果函數f 在兩個不相交的可測集I 和J上勒貝格可積，那麼

積分的絕對連續性表明，如果函數在某區間或集合上可積，那麼當積分區域是近乎全區域的時候，積分的值也會逼近在全區域上的積分值。

微積分學是一門研究變化的學問，正如：幾何學是研究形狀的學問、代數學是研究代數運算和解方程的學問一樣。微積分學又稱為「初等數學分析」。

是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，並成為了現代大學教育的重要組成部分。

微積分學在商學、科學和工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。

微積分學在代數學和幾何學的基礎上建立起來，主要包括微分學、積分學。

積分學，積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念，包括求積分的運算，為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。

微積分基本定理指出，微分和不定積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。

微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究，而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。

這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，也就是用不定積分法取代極限運算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限。