積分 微分 微積分

微積分

積分

微分

積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種

積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出，稱為「黎曼積分」

公式

∫u = ln |u| + C

∫cos udu = sin u + C

∫sin udu = − cos u + C

∫audu=au/lna+c

∫du = u + C

∫exp udu = exp u + C

∫csc udu = − ln | cot u + csc u| + C

∫sec udu = ln |tan u + sec u| + C

∫cot udu = ln |sin u| + C = − ln | csc u| + C

∫tan udu = − ln | cos u| + C = ln |sec u| + C

∫csc u cot udu = − csc u + C

∫sec u tan udu = sec u + C

∫csc2 udu = − cot u + C

∫sec2 udu = tan u + C

嚴格定義

最常見的積分定義是黎曼積分和勒貝格積分

勒貝格積分

黎曼積分

勒貝格積分的出現源於機率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念

黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里

曼積分得名於德國數學家波恩哈德·黎曼，建立在函數在區間取樣分割後的黎曼和之上

對於一個函數f，如果在閉區間 [a,b]上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數 f的黎曼和都會趨向於一個確定的值 S，那麼 f在閉區間 [a,b]上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限 S。這時候稱函數f為黎曼可積的。將 f在閉區間 [a,b]上的黎曼積分記作

性質

其他定義

勒貝格－斯蒂爾傑斯積分

哈爾積分

黎曼－斯蒂爾傑斯積分

伊藤積分

達布積分

等價於黎曼積分的一種定義，比黎曼積分更加簡單，可用來幫助定義黎曼積分

黎曼積分的推廣，用一般的函數g(x)代替x作為積分變量

勒貝格積分的推廣，推廣方式類似於黎曼－斯蒂爾傑斯積分，用有界變差函數g代替測度

由阿爾弗雷德·哈爾於1933年引入，用來處理局部緊拓撲群上的可測函數的積分，參見哈爾測度

由伊藤清於二十世紀五十年代引入，用於計算包含隨機過程如維納過程或半鞅的函數的積分

線性

保號性

介值性質

絕對連續性

積分不等式

推廣

反常積分

多重積分

路徑積分與曲面積分

在數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。
當某些函數 f的自變量r有一個微小的改變 h時，函數的變化可以分解為兩個部分。

一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量 h，可以表示成h和一個與 h無關，只與函數f及r有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在h上的值

另一部分是比h更高階的無窮小，也就是說除以h後仍然會趨於零。當改變量h很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在 r處的微分，記作f(r)h或df(r)h。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微

微分法則

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和求導一樣，微分有類似的法則

一元法則

和導數關係

微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念

多元函數微分

微分與微分形式

如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣

用途

函數的極值

繪製函數圖形

無窮數列的極限值

物理,化學等等自然學科

分類

微分

瞬時變化率

斜率

求導函數的過程稱為微分 對於導數, 導函數, 微分, 可微分

定義

設A(x1,y1),B(x2,y2)為相異兩點 ,x1不等於x2


則直線AB的斜率m=(y2-y1)/(x2-x1)

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a為函數f(x)定義域內的一點

如果[f(x)-f(a)]/[x-a]在趨近於a的極限值存在

稱此極限值為f(x)在x=a的導數

因為極限值存在的條件就是左極限等於右極限

而[f(x)-f(a)]/[x-a]就是在求(x,f(x))和(a,f(a))的斜率

所以可微分的意思就是在很靠近a點

左斜率等於右斜率

微積分學（Calculus，拉丁語意為計數用的小石頭） 是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，並成為了現代大學教育的重要組成部分

應用

物理學

工程學

商學

微分學

積分學

歷史

代微積分是在17世紀的歐洲由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨（相互獨立，在同一時間首次出版）發展起來的，但其中的元素出現在古希臘，然後在中國和中東，再次在中世紀的歐洲和印度。

古代

它的公式只屬簡單指示，沒有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。

現代

積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。

重要性

早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分來自於歐洲。17世紀時，艾薩克·牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨在前人的基礎上提出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的

微分應用

微積分也使人們更加精確地理解到空間、時間和運動的本質。多個世紀以來，數學家和哲學家都在爭論除以零或無限多個數之和的相關悖論。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾便給出了好幾個著名的悖論例子。微積分提供了工具，特別是極限和無窮級數，以解決該些悖論。

主要概念

微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。


微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。

極限和無窮小

微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。
從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是魏爾斯特拉斯於19世紀中葉給出的

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限

導數

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率

微分學

微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率（導數或微商）。換言之，計算導數的方法就叫微分學

微分學的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

速度。

加速度

曲線斜率

最優化

積分應用

面積

體積

弧長

質心

做功

壓力

冪級數

傅立葉級數