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CISIA Tolc-i (MATEMATICA ARITMETICA E ALGEBRA (Equazioni e disequazioni…

- - - - Definizione: Un'equazione fratta è un'equazione in cui sono presenti rapporti e in cui l'incognita x compare almeno una volta in uno dei denominatori.
        Proprietà
        
        l'incognita deve essere presente in almeno un denominatore.
        
        Devono essere ridotte alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado, vale a dire N(x)/D(x)=0
        
        Numero di soluzioni di un'equazione fratta di primo grado
        
        L'equazione ammette una ed una sola soluzione- Equazione Determinata
        
        L'equazione ammette un numero infinito di soluzioni - Equazione indeterminata
        
        L'equazione non ammette soluzioni - Equazione impossibile
        
        Risoluzione equazione fratta di primo grado
        
        Passo 1: Condizioni di esistenza
        -Passo 2: Risuzione alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado
        
        Passo 3: Riduzione a un'equazione di primo grado (o senza incognita)
  - - - Definizione: I sistemi di equazione lineari, o più brevemente sistemi lineari, sono gruppi di equazioni in cui ciascuna di esse è un'equazione di primo grado in una o più incognite.
        Esse rappresentano l'equazione di una retta sul piano cartesiano.
        
        Metodo di riduzione
        
        Metodo di cramer
        
        Metodo del confronto
        
        Metodo di sostituzione
        
        Soluzioni di un sistema lineare
        
        Sistema lineare determinato
        
        Sistema lineare indeterminato
        
        Sistema lineare impossibile
  - - - Regola di Cartesio
      - Equazioni fratte di secondo grado
      - Delta quarti
      - Formula del discriminante
    - - Proprietà
        
        Insieme di esistenza delle soluzioni
        L'insieme numerico in cui dobbiamo cercare le soluzioni
        
        Soluzioni dell'equazione
        I valori che sostituiti al posto dell' incognita rendono vera l'uguaglianza
        
        Forma normale equazione 1° grado
        ax = b
      - Problemi con le equazioni
    - - Cosa si può fare per risolvere un equazione ?
        Si può fare tutto basta che ogni azione, operazione manipolazione deve mantenere l'uguaglianza.
        
        DEFINIZIONE
        Chiamiamo equazione una qualsiasi uguaglianza tra due espressioni algebriche.
        espressione_1 = espressione_2
        
        possono contenere lettere x, y, z che si chiamano incognite
    - - Secondo principio di equivalenza Il secondo principio di equivalenza stabilisce che data un equazione di qualsiasi tipo se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri una medesima quantità senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo una nuova equazione equivalente alla precedente
      - Primo principio di equivalenza
        Il primo principio di equivalenza stabilisce che, data un'equazione di qualsiasi tipo, se sommiamo o sottraiamo a entrambi i membri una medesima quantità senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo una nuova equazione equivalente alla precedente.
      - Membro sinistro membro destro
        L'espressione a sinistra dell'ugulae (membro sinistro), l'espressione a destra dell'uguale (membro destro)
      - Equazioni equivalenti
        Si chiamano equazioni equivalenti due equazioni che ammettono lo stesso insieme di soluzioni
    - - Un equazione senza incognite:
        Risulta indeterminata se:
        3=3
        0=0
        1=1
        Risulta impossibile se:
        1=2
        2=3
        3=7
  - - - chiamiamo:
        
        a base del logaritmo
        
        b argomento del logaritmo
        
        x valore del logaritmo
        
        Logaritmo naturale: numero di nepero = 2.7
        
        Logaritmo decimala: base = 10
        
        Proprietà dei logaritmi
        (a div. 0, a div. 1)
        
        definizione di logaritmo | a^log a (b) = b
        
        Logaritmo del prodotto | log a (b*c) = log a (b) + log a (c)
        
        Regola dell'esponente | log a (b^c) = c log a (b)
        
        Logaritmo del rapporto | log a (b/c) = log a (b) - log a (c)
        
        Formula del combiamento di base per logaritmi |
        log a (b) = log c (b)/log c (a)
        
        Formula di inversione per i logaritmi | log a (b) = 1/log b (a)
    - - Un espressione esponenziale è una potenza con base fissa e esponente variabile
- - - - Grafici e proprietà delle funzioni elementari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.)
        
        Funzioni elementari
        
        Funzione segno sgn(x)
        
        Funzione arcocosecante arccsc(x)
        
        Funzione cotagente cot(x)
        
        Funzione secante sec(x)
        
        Funzione potenza con esponenti pari
        
        Funzione potenza con esponenti dispari
        
        Funzione tangente iperbolica tanh(x)
        
        Funzione cos(x)
        
        Funzione arcosecante arcsec(x)
        
        Funzione logaritmica ln(x) o log(x)
        
        Funzione arcosen arcsin(x) o arcsen(x)
        
        Funzione lineare y=ax + b
        
        Funzione radice di x con indice pari
        
        Funzione logaritmica con base minore di 1
        
        Funzione esponenziale a^x, b^x
        
        Funzione costante
        
        Funzione polinomiale
        
        Funzione coseno iperbolico cosh(x)
        
        Funzione tangente tan(x) o tg(x)
        
        Funzione y=x^x
        
        Funzioni parte intera
        
        Funzione arcotangente arctan(x)
        
        Funzione arcocotagente arccot(x)
        
        Funzione seno sin(x) o sen(x)
        
        Funzione Mantissa
        
        Funzione cosecante iperbolica csch(x)
        
        Funzione secante iperbolica sech(x)
        
        Funzione arcocoseno arccos(x)
        
        Funzione iperbolica
        
        Funzione cosecante csc(x)
        
        Funzione senoiperbolico sinh(x)
        
        Funzione razionale
        
        Funzione esponenziale a^x con base tra 0 e 1
        
        Funzione radice di x con indice dispari
        
        Funzione cotagente iperbolica coth(x)
        
        Funzione identità y=x
- - - - Proprietà e parti di un solido geometrico
        
        Volume: Insieme dei punti che individuano lo spazio occupato dal solido.
        
        Faccia: Uno dei poligoni che delimita il solido
        
        Vertice: Punto in cui convergono almeno 3 facce
        
        Spigolo: Uno qualsiasi dei lati di una faccia
        
        Angolo diedro: Porzione di spazio conmpresa tra due facce aventi uno spigolo in comune
        
        Angloide: regione di spazio delimitata da 3 o più facce che convergono nello stesso vertice.
        
        Poliedri
        Solidi aventi come facce figure poligonali piane che giaciono su piani distinti.
        
        Ottaedro
        
        Dodecaedro
        
        Icosaedro
        
        Prismi e parallelepipedi
        
        Prisma retto, prisma regolare
        
        Parallelepipedo rettangolo
        
        Piramide
        
        Tronco di piramide
        
        Cubo (esaedro regolare)
        
        Tetraedo
        
        Solidi platonici
        
        Solidi di rotazione
        Solidi che presentano almeno una superficie curva e che vengono generati a partire dalla rotazione di una figura piana.
        
        Cono
        
        Tronco di cono
        
        Sfera
        
        Cilindro
        
        Solidi irregolari
        Tutti i solidi che non sono riconducibili alle precedenti categorie. (alberi, auto, forno, etc.)
  - - - Quadrilateri
        
        Quadrato
        
        Quadrato
        
        Rombo
        
        Rettangolo
        
        Trapezio, trapezio rettangolo, trapezio isoscele
        
        Trapezio scaleno
        
        Trapezio
        
        Trapezio rettangolo
        
        Trapezio isoscele
        
        Deltoide
        
        Parallelogramma
      - Ettagono
      - Pentagono
      - Ottagono
      - Esagono
      - Ennagono
      - Decagono
      - Apotema
      - Poligoni regolari
      - Dodecagono
      - Diagonale
    - - Pi Greco π: Definito come il rapporto tra la misura del perimetro e la lunghezza del diametro, è un valore costante per qualsiasi cerchio. è numero irrazionale che negli esercizi può essere lasciato indicato o approssimato come π ~ 3.14...
      - Definizione di circonferenza
        Si definisce circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un dato punto, detto centro della circonferenza; il valore della distanza viene detto raggio
        Definizione di cerchio
        Si definisce cerchio la parte di piano delimitata da una circonferenza
        
        Corona circolare: Una corona circolare è una parte di cerchio delimitata da due circonferenze, dette rispettivamente interna ed esterna, con il medesimo centro.
        
        Formule corona circolare
        (r raggio circonferenza interna, R raggio circonferenza esterna, 2p perimetro, A area corona)
        
        Perimetro della corona circolare | 2p=2π(r+R)
        
        Raggio minore | r=2p-2πR/2π
        
        Raggio maggiore | R=2p-2πr/2π
        
        Area della corona circolare | A=π(R^2-r^2)
        
        Raggio minore | r=√πR^2-A/π
        
        Raggio maggiore | R=√πr^2+A/π
        
        Segmento circolare a due basi: Parte di cerchio contenuta tra due corde parallele
        
        Formule segmento circolare a due basi
        (c1 lunghezza corda minore, c2 lunghezza corda maggiore, 2p perimetro, A area)
        
        il perimetro del segmento circolare a due basi si può calcolare come la somma delle lunghezza delle due corde e della differenza tra le lunghezza dei due archi
        
        L'area del segmento circolare a due basi si può calcolare come la differenza tra l'area dei due settori circolari con basi le rispettive corde
        
        In generale bisogna sempre tenere a mente le formule del cerchio, perche potrebbero rivelarsi molto utili nella risoluzione dei problemi
        
        Diametro: Una qualsiasi corda che passa per il centro della circonferenza
        
        Proprietà
        1) Poiche, come abbiamo visto, ogni diametro è una particolare corda, esso gode di tutte le proprietà viste per la corda di una circonferenza
        2) Il centro di una circonferenza è il punto medio del diametro, ossia ogni diametro viene diviso dal centro della circonferenza in due segmenti uguali che prendono il nome di raggi della circonferenza
        3) Ogni diametro è un asse di simmetria per la circonferenza e la divide in due parti uguali, che si diranno semicirconferenze
        4) Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, e la sua ipotenusa è il diametro della semicirconferenza (attenzione: una semicirconferenza ha ovviamente un solo diametro)
        5) In ogni circonferenza ciascun diametro è maggiore di qualsiasi altra corda; proprio per questo motivo si sente parlare di diametro come corda massima della circonferenza
        6) Preso un qulasiasi poligono regolare e considerata la circonferenza inscritta, il diametro è il doppio dell'apotema
        
        Semicirconferenza: Metà della circonferenza (Semicerchio: metà del cerchio)
        
        Formule semicirconferenza
        (r raggio, d diametro)
        
        Area della semicirconferenza | As=πr^2/2
        
        Raggio (dall'area) | r=√2As/π
        
        Perimetro della semicirconferenza | 2ps=πr+d
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2ps-d/π
        
        Quadrante: Quarta parte di un cerchio
        
        Formula quadrante circolare
        (r raggio circonferenza, d diametro)
        
        Area del quadrante circolare | Aq=πr^2/4
        
        Raggio (dall'area) | r=√4Aq/π
        
        Perimetro del quadrante | 2pq=πr/2+2r
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2pq/π/2+2
        
        Settore circolare: Parte di cerchio contenuta tra un arco e i due raggi condotti dagli estremi dell'arco
        
        Formule settore circolare
        (r raggio, L lunghezza dell'arco sotteso dal settore circolare, 2p perimetro, A area, β l'angolo al centro)
        
        Perimetro del settore circolare | 2p=2r+L
        
        Lunghezza dell'arco (dal perimetro) | L=2p-2r
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2p-L/2
        
        Area del settore circolare | A=L*r/2
        
        Lunghezza dell'arco (dall'area) | L=2A/r
        
        Raggio ( dall?area) | r=2A/L
        
        Con l'angolo in gradi Proporzione arco-raggio-angolo | L:2πr = β:360°
        
        Lunghezza dell'arco | L=β*2πr/360°
        
        Raggio r=L*360°/2πβ
        
        Angolo al centro | β=L*360/2πr
        
        Area del settore circolare | A=πr^2β/360°
        
        Raggio | r=√A*360°/πβ
        
        Angolo al centro | β=360°A/πr^2
        
        Con l'angolo in radianti proporzione angolo-raggio-arco | 2π:β=2πr:L
        
        Lunghezza dell'arco | L=βr
        
        Raggio | r=L/β
        
        Angolo al centro | β=L/r
        
        Area del settore circolare | A=r^2β/2
        
        Raggio | r=√2A/β
        
        Angolo al centro β=2A/r^2
        
        Raggio: Segmento che congiunge il centro della circonferenza con un qualsiasi punto della circonferenza
        
        Arco di circonferenza: Parte della circonferenza che unisce due punti qualsiasi della circonferenza
        
        Segmento circolare: Parte di cerchio contenuta tra un arco e la corda che congiunge gli estremi dell'arco
        
        Formule del segmento circolare
        (c lunghezza corda, L lunghezza arco, 2p perimetro, A area)
        
        Area del segmento circolare | Da calcolare come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo isoscele dato da corda e raggi
        
        Perimetro del segmento circolare | 2p=L+c
        
        Corda del perimetro | c=2p-L
        
        Arco | L=2p-c
        
        Corda: Segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza
        
        Proprietà
        1) Una circonferenza ha infinite corde e tra esse, quelli passanti per il centro si dicono diametri
        2)Una corda divide la circonferenza in due parti, dette archi di circonferenza
        3) Una retta passante per il centro di una circonferenza e perpendicolare ad una corda la dimezza
        4) L'asse di una corda passe per il centro di una circonferenza
        5) Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e, viceversa, due corde che hanno la stessa distanza dal centro sono uguali
        6) In una circonferenza due corde diseguali hanno diversa distanza dal centro e, precisamente, quella maggiore ha distanza minore dal centro. Viceversa, due corde aventi dal centro distanza diseguali sono diverse e la maggiore è quella che ha distanza minore dal centro
        7) Teorema delle corde: Se due corde si intersecano in un punto, i segmenti dell'una formano i medi ed i segmenti dell'altra formano gli estremi di una proporzione
        
        Proprietà del cerchio
        
        Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza
        
        Qualunque corda che non passa per il centro è minore del diametro
        
        La perpendicolare mandata dal centro di una circonferenza ad una corda la divide in due parti uguali
        
        Ogni coppia di punti sulla circonferenza divide la circonferenza in due archi
        
        Ogni angolo al centro è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza
        
        Ad angoli congruenti al centro corrispondono archi e settori circolari congruenti, e viceversa
        
        Dato un poligono regolare, è sempre possibile inscrivere e circoscrivervi una circonferenza
        
        Poiché per tre punti del piano passa una ed una sola circonferenza, è sempre possibile circoscrivere una circonferenza ad un triangolo qualsiasi
        
        Qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo
        
        Formule del cerchio
        (r raggio, d diametro, 2p perimetro, A area)
        
        Diametro del cerchio | d=2r
        
        Raggio (dal diametro) | r=d/2
        
        Perimetro del cerchio (formula della circonferenza) | 2p=2πr
        
        Raggio (dal perimetro) | r=2p/2π
        
        Perimetro dal diametro | 2p=πd
        
        Diametro (dal perimetro) | d=2p/π
        
        Area del cerchio | A=πr^2
        
        Raggio (dall'area) | r=√A/π
        
        Area del cerchio (con il diametro) | A=π(d/2)^2
        
        Diametro (dall'area) | d=√4A/π
  - - - Punto
        
        Il punto è un ente geometrice che non ha dimesione (spessore, altezza, larghezza) serve ad indicare una pasizione, Si indica con una lettera grande (.A)
        
        Per un punto passano infinite rette: Fascio di rette
        
        Esistono infiniti punti non appartenenti alla stessa retta: Due rette incidenti r e s r ha infiniti punti che non incidono con s e viceversa
      - Retta
        
        una retta è una linea che si distende all infinito o come una serie infinita di punti che si distendono all infinito viene indicata con una lettera minuscola (a)
        
        Rette che non hanno alcun punto in comune: Rette parallele
        
        Rette che hanno un punto in comune: Rette incidenti
        
        Per una retta passano infiniti piano: Fascio di piani
      - Piano
        
        Il piano è come un foglio di carta che si distende all infinito viene indicato ha solo due dimensioni larghezza, lunghezza con una lettera minuscola greca.
        
        Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano
        
        Se almeno due punti allineati appartengono ad un piano anche la retta è ell interno dell piano
      - Proprietà / Postulati (proposizioni non dimostrabili)
        
        I PRIMI POSTULATI SONO:
        
        un piano contiene infiniti punti ed infinite rette. - Una retta contiene infiniti punti
        
        Due punti distinti appartengono ad una ed una sola retta oppure pre due punti distinti passa una ed una sola retta
  - - - Segmento è una retta non infinita che ai suoi estreme ha due punti detti estremi. (un segmento è una parte di una retta delimitata da due punti detti estremi di un segmento)
        
        Proprietà e classificazione dei segmenti
        Segmenti sovrapposti
        Due segmenti AB e CD di dicono sovrapposti se sono sulla stessa retta se hanno un estremo in comune e tutti i punti dell estremo minore stanno su quello maggiore.
        Segmenti coincidenti
        se due segmenti hanno entrambi gli estremi in comune si dicono coincidenti
        Segmenti congruenti
        Due segmenti si dicono congruenti se, una volta sovrapposti, sono coincidenti. In pratica due segmenti congruenti hanno per definizione la stessa lunghezza.
        Segmenti esterni
        Sono segmenti che non hanno punti in comune.
        Segmenti incidenti
        Se due segmenti hanno in comune un punto che non è un estremo per entrambi allora essi si dicono incidenti ed il punto comune si dice punto di intersezione tra i segmenti.
        Segmenti consecutivi
        Due segmenti si dicono consecutivi se hanno uno e un solo estremo in comune, tale da essere l'unico punto in comune tra i due segmenti.
        Segmenti adiacenti
        Segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta di dicono adiacenti
        
        SEGMENTI PARTICOLARI
        Corda
        Segmento che unisce due punti di una circonferenza
        Diametro
        Segmento che unisce due punti di una circonferenza e passa per il centro
        Lato
        Segmento che unisce due vertici consecutivi di un poligono
        Diagonale
        Segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono
    - - Angolo convesso
        Quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati
        Angolo concavo
        Quando contiene i prolungamenti dei suoi lati
        
        Angolo acuto
        Ciascun angolo la cui ampiezza è minore (strettamente) di 90°
        Angolo retto
        Un angolo ampio esattamente 90° o π/2 radianti
        Angolo ottuso
        Ciascun angolo la cui ampiezza è maggiore (strettamente) di 90°
        
        CLASSIFICAZIONE DI COPPIE DI ANGOLI
        Angoli consecutivi
        Se hanno un lato e un vertice in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune
        Angoli adiacenti
        Se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte
        Angoli opposti al vertice
        Se i lati dell'uno sono un prolungamento dei lati dell'altro
        Angoli congruenti
        Se hanno la stessa ampiezza, ossia quando una volta sovrapposti coincidono punto per punto.
        
        Angoli consecutivi
        
        Angoli adiacenti
        
        Angoli opposti al vertice
        
        Angoli congruenti
        
        Angoli complementari
        Se la loro somma equivale ad un angolo retto
        Angoli supplementari
        Se la loro somma è tale da formare un angolo piatto
        Angoli esplementari
        Se la loro somma è un angolo giro
        
        Angolo piatto
        Angolo ampio 180°
        Angolo giro
        Angolo ampio 360°
        Angolo nullo
        Angolo ampio 0°
        
        Angolo Piatto
        
        Angolo piatto proprietà
        
        La misura dell'ampiezza in gradi di un angolo piatto è di 180°, mentre in radianti è Pi Greco (π).
        
        L'angolo piatto è il doppio di un angolo retto e la metà di un angolo giro.
        
        Un angolo piatto è un angolo né concavo né convesso.
        
        Nella geometria euclidea, la somma degli angoli di un qualsiasi triangolo è pari a un angolo piatto
        
        La somma delle ampiezze di due angoli adiacenti è un angolo piatto
        
        Due angoli la cui somma delle ampiezze è una angolo piatto si dicono angoli suplementari.
        
        Angolo giro
        
        Angolo giro proprietà
        
        Un angolo giro ha un'ampiezza di 360°, che corrispondono a 2π radianti.
        
        L'angolo giro è il quadruplo di un angolo retto, e il doppio di un angolo piatto
        
        L'angolo giro è un angolo concavo, infatti contiente i prolungamenti dei suoi lati.
        
        Nella geometria euclidea, la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre uguale ad un angolo giro indipendentementedal numero dei lati del poligono stesso.
        
        Due angoli la cui somma delle ampiezze è un angolo giro si dicono angoli esplementari
        
        Angolo nullo proprietà
        
        L'ampiezza di un angolo nullo è pari a 0° e quindi 0 radianti
        
        L'angolo nullo è un angolo convesso, infatti non contiene i prolungamenti dei suoi lati
      - Misura degli angoli: gradi, primi, secondi
      - Radianti
- - - - Proprietà seno di x
        1) Dominio: Dom(f) = (- infinito, + infinito)
        2) E una funzione dispari
        3) Funzione limitata con immagine Im(f) = [-1, +1]
        4) Segno della funzione:
        4.1) Positiva per 2kPi < x < (2k + 1)Pi
        4.2) Negativa per (2k - 1)Pi < x < 2kPi
        con k nell' insieme dei numeri relativi
        5) Intersezione con gli assi:
        x=0 -> y=0
        y=0 ->x=kPi
        con k nell' insieme dei numeri relativi
        6) Funzione periodica con periodo 2Pi
        Le successive proprietà indicate con vengono espresse sull'intervallo di periodicità [0, 2Pi]
        7) Monotona strettamente crescente su [0, Pi/2) UNIONE [3/2Pi, 2Pi), strettamente decrescente sulla restante parte dell'intervento di periodicità
        8) * concava su [0, Pi], convessa sulla restante parte dell'intervento di periodicità
        9) Continua su tutto REALI, derivabile su tutto REALI
        10) Limiti agli estremi del dominio: non esistono
        11) Limite notevole associato:
        12) Derivata del seno:
        13) Integrale del seno:
        14) Sviluppo di taylor con centro in x0 = 0