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積分 (定積分 (f的不定積分（或稱原函數）是任何滿足其導函數是函數 f的函數} F。一個函數 f的不定積分不是唯一的：只要 F是 …
積分
定積分
f的不定積分（或稱原函數）是任何滿足其導函數是函數 f的函數} F。一個函數 f的不定積分不是唯一的：只要 F是 f的不定積分，那麼與之相差一個常數的函數 F + C 也是 f的不定積分。本條目中主要介紹定積分，不定積分的介紹參見不定積分條目。
微積分基本定理，由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨自確立。微積分基本定理將微分和積分聯繫在一起，這樣，通過找出一個函數的原函數，就可以方便地計算它在一個區間上的積分。積分和導數已成為高等數學中最基本的工具，並在自然科學和工程學中得到廣泛運用。
可以理解為在 { Oxy}坐標平面上，由曲線 (x,f(x))、直線 x=a,x=b以及 x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。
積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出，稱為「黎曼積分」。黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現，有了對各種積分域上的各種類型的函數的積分。比如說，路徑積分是多元函數的積分，積分的區間不再是一條線段（區間 ），而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。
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不定積分
性質
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微積分基本定理：如果 f=f}是閉區間 f=[a,b]}上的連續函數，f=F}是 f=f}在 f=[a,b]}上的一個原函數，那麼 
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積分上限函數
什麼樣的函數具有原函數是微積分理論中的基本問題。首先，每個連續函數都有原函數，並且由上面可知，原函數的個數是無限個。其次，對於一個有原函數的函數，它的原函數族中在某點取某個特殊值的只有一個。特別來說，對某個點 a， f恰有一個在 a上取值為零的原函數，它可以表示為如下的積分上限函數：
在微積分中，一個函數 f=f}的不定積分，也稱為原函數或反導數，是一個導數等於f=f} 的函數 {f=F}，即 f=F'}。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。
嚴格定義
勒貝格積分
勒貝格積分的出現源於機率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數能夠定義積分。同時，對於黎曼可積的函數，新積分的定義不應當與之衝突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。 黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。
勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函數曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠「測量」更不規則的函數曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區間 A = [a, b] 的勒貝格測度μ(A)是區間的右端值減去左端值， b − a。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。在更複雜的情況下，積分的集合可以更加複雜，不再是區間，甚至不再是區間的交集或並集，其「長度」則由測度來給出。
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定義積分的方法不止一種，各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函數：在某些積分的定義下這些函數不可積分，但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。最常見的積分定義是黎曼積分和勒貝格積分。
簡介
積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長 × 寬 × 高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
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