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二年乙班08 吳家瑋 微積分 (微積分被延伸到 (微分方程, 向量分析, 變分法, 複分析, 時域微分, 微分拓撲,…
二年乙班08 吳家瑋 微積分
定積分的概念
定積分的概念形成及其發展，是為了求平面面積的大小等問題。對於規則的幾何圖形，如三角形、圓形等，可利用面積公式求其面積。
我們可以仿照「曹沖稱象」之方式將要求的區域面積做切割再累加，切的愈細當然估計的愈準確。
選點
現從第I個子區間[xi-1,xi]中任取一點wi，i＝1,2,…,n
求和
此式Sn＝ 稱為f(x)在[ a,b]上的黎曼和(Riemann Sum)。
求黎曼何的極限
求區域R的面積，可從分割、選點、求和及取極限求得。現我們可利用此概念與分析，作以下之定義。
定理
若f(x)在閉區間[a,b]上為連續，則f(x)在[a,b]是可積分的
若f(x)在閉區間[a,b]上為單調，則f(x)在[a,b]是可積分的
若f(x)在閉區間[a,b]上為有界，且有有限個不連續點，則f(x)在[a,b]是可積分的
不定積分
在微積分中，一個函數 的不定積分，也稱為原函數或反導數，是一個導數等於 函數。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。
積分技巧
求初等函數的不定積分比求它們的導數要困難得多。如上面所看到的，有些初等函數的原函數無法用初等函數來表達。以下是求不定積分的一些技巧。
積分的線性性質使得我們可以把較為複雜的函數分成幾個較為簡單的函數的和來計算
換元積分法可以把被積函數轉換成比較容易積分的形式，但對換元函數有一定要求
分部積分法，用於函數乘積的積分
對於實值分式函數的積分，可以先將函數展開成若干一次分式函數以及二次分式函數的冪的和，再進行積分
Risch算法
對於常見的不定積分，可以查看積分表
當函數的不定積分不能用初等函數表達時，可以採用其他辦法計算函數的定積分，比如數值積分
不連續函數的積分
微積分基本定理要求為連續函數，但是，對於不連續的函數，我們仍然可以考慮求不定積分。對於什麼函數有原函數，現在仍存在著未解決的問題。如今已知的結論有：
一些很不「規則」的函數，儘管在「非常多」的點上並不連續，但仍有原函數
在某些情況下，一些不「規則」的函數的不定積分可以通過黎曼積分求得。當然更多的不「規則」的函數不是黎曼可積的
不定積分
微積分基本定理的兩個部分，都建立了導數與定積分之間的
關係。
第一定理說明了 若 f(x) 連續，則 是 f(x) 的一個反導函
數。第二定理說明了 = F(b) – F(a) ，其中 F 為一
為了方便，我們需要一個符號來表示反導函數，而由微積分
基本定理我們發現反導函數與積分關係非常的密切。因此，
我們定義 f(x) 的不定積分 (indefinite integral)
用來表示 f(x) 的反導函數。
在這裡特別需要注意的是定積分與不定積分的差別。
定積分 是函數 f(x) 在一個確切區間 [a, b] 上的積分
值，是一個數值。
而不定積分 則是指函數 f(x) 的反導函數，是一個函
數 (甚至是一群函數) 。
不過定積分與不定積分的關係，也就是由微積分基本定理的
第二定理給出：若 f(x) 在 [a, b] 上連續，則
其中右邊的符號：表示在上界 b 取值 – 在下界 a 取值，也就
是前面所提過的形式 F(b) – F(a) 。
反導函數
反導函數的意思便是微分之後會得到原函數
於是不定積分其實也就是一群函數，反導函數加上一個常數。
定積分與面積
若 f(x)為[a,b]上的非負連續函數
則∫ba f (x) dx 代表函數 f(x)的圖形與直線 x 軸、x=a、x=b 所圍成的區域面積
若 f(x)為[a,b]上的連續函數，
則∫a f (x) dx 等於函數 f(x)的圖形與直線 x 軸、x=a、x=b 所圍成的區域在 x 軸上方部份的面積和減去在 x 軸下方部份的面積和。
定積分的概念
連續函數 f(x)黎曼和的極限值n→∞lim ∑=∆nii f t x1( ) 會等於函數 f(x)的圖形與直線 x=a、x=b、x
軸所圍成的區域在 x 軸上方部份的面積和減去在 x 軸下方部份的面積和。
一般而言，
連續函數 f(x)可能代表某個物理量(速度、加速度、位移與功等等)，
例子
2 的圖形與直線 x=0、x=1 與 x 軸所圍成的區域面積可表為∫
函數 f(x)= 4−x
2
與直線 x=−2、x=2 與 x 軸所圍成的區域面積可表為∫ − − 2
2
2 4 x dx
微積分的基本概念還包括
函數
無窮序列
無窮級數
連續
微積分被延伸到
微分方程
向量分析
變分法
複分析
時域微分
微分拓撲
微積分的現代版本是實分析
極限和無窮小
微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。