Matematikk 2 emne 2 KfK
Funksjonsbegrepet
Derivasjon
Matematikkvansker
Modellering
Sannsynlighet
Integrasjon
To ulike skoler
De seks prinsippene for modellfremkallende aktiviteter
Kombinatorikk
En funksjon er en regel f som til ethvert tall (i definisjonsmengden 𝐷𝑓) angir et entydig tall (i verdimengden 𝑉𝑓).
Regelen må være konsekvent.
RME
Situert > formal forståelse
Model eliciting
Emergent modelling
Definisjon
Prinsippet om personlig meningsfullhet
Anvendelse
Integrasjon er en matematisk operasjon som utføres på en matematisk funksjon
Vise, teste, revidere, forfine/avvise ulike måter å tenke på
4 årsaker
- medisinske/nevrologiske
- psykologiske
- sosiologiske
- didaktiske
Dyskalkuli/Matematikkvansker
Uttrykket matematikkvansker betegner at eleven har stagnert eller gått tilbake i relasjon til
en normal faglig utvikling.
Integrasjon er på mange måter det motsatte av derivasjon, og kalles i noen sammenhenger også for antiderivasjon.
Prøve og feile, utvikle
Integrasjon brukes blant annet til å beregne areal og volum.
Utfall: Resultat på stokastiske forsøk (ufall er utvisst) vs. deterministisk
Det bestemte integralet
Det ubestemte integralet
Vi definerer det ubestemte integralet ∫f(x)dx til å være en generell antiderivert av f.
Janvier (1987)
Situasjoner, verbale beskrivelser
Algebraiske uttrykk
Grafer
Tabeller
Karakteristiske trekk:
- Kvantitativ læring (prob med romoppfatning)
- Visuell persepsjon
-Symbolgjenkjenning - språk og kommunikasjonsferdighet
- hukommelse
- finmotorisk
- kognitive strategier
Lerner, 1997
Representasjoner og representasjonsoverganger
Det bestemte integralet ∫baf(x)dx, er gitt ved at ∫baf(x)dx=F(b)−F(a), der F er en antiderivert av f.
Den antideriverte:
Ordnet utvalg uten tilbakelegging
Uordnet utvalg uten tilbakelegging
Den antideriverte av en funksjon F(x) er derfor en funksjon f(x) slik at F′(x)=f(x) .
Ordnet utvalg med tilbakelegging
Uordnet utvalg med tilbakelegging
Eksempel:
Hva mener forskning at vi (som lærere) kan gjøre for å hjelpe elevene med representasjonsoverganger?
Den antideriverte av f(x)= x er 1/2x^2 siden (1/2x^2)`=x . Til forskjell fra ubestemt integrasjon sløyfer vi vanligvis konstantleddet.
Ufallsrom: Alle mulige utfall som er muklige i et stokastisk forsøk
Hending/ hendelse: Delmengde av utfallsrommet Eks: Å få 4, 5 eller 6 på terning: H={4,5,6}
Disjunkte utfall: Utelukker hverandre
Komplementære hendinger: A- ener IKKEA - Ikke ener
Generelt: Den antideriverte av en funksjon F(x) er derfor en funksjon f(x) slik at F′(x)=f(x) .
Utfordringer
Utfordringer
Å tolke grafen som et bilde eller et kart av en situasjon
Vanskeligheter med å holde styr på begge variablene samtidig (samvariasjon)
En graf er alltid rettlinjet
Diskret verdier sammenhengende graf
Problemer med å tolke stigning og intervaller
Manglende forkunnskaper
Koordinatsystemet
Algebrakunnskaper
Kunnskaper om brøkregning
Regning med negative tall
Mangel på orden og presisjon
Uniform sannsynlighet: Alle utfall er like sannsynlige
Binomiske forsøk:
hypergeometrisk forsøk
Betinget sannsynlighet
Bayes teorem:
Kjennetegn på matematikkvansker
- Forstyrrelser i systematisk tenkning og romoppfatning
- Dårlige innlæringsmetoder (læringsstrategier)
- Svak begrepsforståelse
- Dårlig automatisering
Det er variasjon av og hvordan en koordinerer mellom ulike representasjoner som er av betydning, ikke å finne den mest «rette» representasjonen (Duval, 2004)
Frem og tilbake mellom ulike representasjoner (Janvier, 1987)
Utforskende undervisningsopplegg med representasjonsoverganger (Schwarz & Hershkowitz, 1999)
Diagnostiske intervju med elever (Van de Walle et al., 2015)
Prinsippet om modelkonstruksjon
Prinsippet om selvevaluering
Prinsippet om modeldokumentasjon
Prinsippet om den simple prototype
Prinsippet om modelgeneralisering