二年乙班 12號 周家睿
微積分心智圖
微分
1.微分是對函數的局部變化率的一種線性描述
2.微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時
3.當某些函數f 的自變量x有一個微小的改變h時，函數的變化可以分解為兩個部分。
4.一個部分是線性部分
5.另一部分是比 h 更高階的無窮小，也就是說除以h後仍然會趨於零
定義
6.設函數y＝f (x)在某區間內有定義
7.通常把自變量 x的增量△x稱為自變量的微分，記作dx，即dx＝△x
和導數的關係
8.微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念
9.導數也叫做微商。於是函數y＝f (x)
幾何意義
10.設△x是曲線y＝f (x)上的點 P在橫坐標上的增量，△y是曲線在點P對應△x在縱坐標上的增量，dy是曲線在P的切線對應△x在縱坐標上的增量。
微分與微分形式
11.如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。
積分
12.積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。
13.通常分為定積分和不定積分兩種。
嚴格定義
14.定義積分的方法不止一種，各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函數：在某些積分的定義下這些函數不可積分，但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。
性質
15.通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下的在黎曼積分意義上表示一個區間，在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。
線性
16.積分是線性的。如果一個函數f可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函數f 和 g可積，那麼它們的和與差也可積。
17.所有在上可積的函數構成了一個線性空間。黎曼積分的意義上，所有區間【a.b】上黎曼可積的函數f 和 g都滿足
18.所有在可測集合上勒貝格可積的函數f 和g都滿足
19.在積分區域上，積分有可加性。
20.如果函數f 在兩個不相交的可測集上勒貝格可積
保號性
21.如果一個函數f 在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。
積分的基本原理
22.微積分基本定理將微分和積分聯繫在一起，這樣，通過找出一個函數的原函數，就可以方便地計算它在一個區間上的積分。
介值性質
23.如果f在L上可積，M和m分別是f在L上的最大值和最大值
絕對連續性
24.積分的絕對連續性表明，如果函數在某區間或集合上可積，那麼當積分區域是近乎全區域的時候，積分的值也會逼近在全區域上的積分值。
積分不等式
25.涉及積分的基本不等式可以看作是一些離散不等式的類比。
微分公式
26.f(x)=x的n次方，則f'(x)=nx的n次分減1（n為自然數）
27.若f（x）=k,則f'（x）=0（k為常數）
28.若F（x）=kf（x）,則F'（x）=kf'（x）（k為常數）
29.若F（x）=f（x）+g（x）,則F'（x）+g'（x）
30.若F（x）=f（x）-g（x）,則F'（x）=f'（x）-g'（x）
31.若F（x）=f（x）g（x）,則F'（x）=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）
32.若F（x）=f（x）/g（x）（其中g（x）不等於0），則F'（x）=f'（x）g（x）-f（x）g'（x）/[g（x）]的平方
33.夾擠定理sandwich Theorem
無窮數列的發散與收斂
34.收斂：會趨近於定數
35.發散：會遠離定數
結論：無窮等比級數
36.當lrl小於1時，a/1-r
37.當lrl大於等於1時，無法求和
循環小數
37.0.abc,bc循環=abc-a/990
38.k×abc循環=k+0.abc循環=k×abc/999
36.0.abc循環=abc/999
定積分的值與面積的關係
39.定積分值大於零
42.定積分小於0
40.面積在x上方
41.面積=定積分值
43.面積在x軸下方
44.面積=l定積分值l